浙教版八年级上数学特殊三角形

浙教版八年级上数学特殊三角形1/6考点分析1、掌握等腰三角形的性质及判定定理2、掌握直角三角形的性质3、特殊三角形在全等证明中的运用4、掌握勾股定理的计算方法知识点概要1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。PS:等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。4、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半浙教版八年级上数学特殊三角形2/6（4）勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba题型分类例与练考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用例1.（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm例2.已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC＝BC．试求∠A的度数．ABCD练习1，请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。4.已知：在中，，，，求的度数.考点二：三线合一、实际应用的图形转换例3.如图所示，已知D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．试说明：BD＝CE．ABCDEF分析：本题可以通过△ABD≌△ACE来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．例4.如图所示，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，那么BH＝AC吗？说明道理．浙教版八年级上数学特殊三角形3/6ABCHDE分析：由∠ABC＝45°，AD⊥BC可得△ABD是等腰直角三角形，所以BD＝AD．BH和AC是Rt△BHD和Rt△ACD中对应的斜边．本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手．例5.如图所示，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE＝CD，试说明△BDE是等腰三角形．ABCDE分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．例6如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？ABCD15°30°N分析：作CD⊥BN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD＞12.3，则无触礁危险；若CD≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD．练习1.如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是多少度。浙教版八年级上数学特殊三角形4/62、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为多少。3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．过关检测1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A36°EDFBC2选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）浙教版八年级上数学特殊三角形5/6A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对3．(2011·贵阳)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．74．(2011·烟台)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()A．80°B．70°C．60°D．50°5.如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，则1的度数是________。CA1DB236.(2011·衡阳)如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。AEFBDC浙教版八年级上数学特殊三角形6/68.如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。求证：BCBDAD。AD1B2EFC9.如图，已知：在中，，，，.求：的度数.10.ABC中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC21DE。AEDOBC1211.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．