直角三角形全等的判定-例题精讲与同步训练(含解答)--2

天天教育天天教育-1-直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。讲一讲例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt△BCE与Rt△CBD中BCBCBDCE∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)∴∠1=∠2，∴OB=OC例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BCBE=BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）∴DE=EC又∵BD=BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵FG⊥CDCD⊥BD∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°∴QF//CD∴QF=DG，∴∠B=∠GFC天天教育天天教育-2-∵F为BC中点∴BF=FC在Rt△BQF与Rt△FGC中FCBFGFCBFGCBQF∴△BQF≌△FGC（AAS）∴QF=GC∵QF=DG∴DG=GC∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG天天教育天天教育-3-练一练1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等;②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等;④相等的角为直角时全等A．0B．1C．2D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1B．3：1C．4：1D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（）A．∠1∠2B．∠1=∠2;C．∠1∠2D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC求证：AB=DE.（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.天天教育天天教育-4-（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F求证：CE=DF.天天教育天天教育-5-参考答案（1）C;（2）D;（3）D设BC=x则AC=2x，CD=2x∴BD=3x∴AC：BD=2：3（4）B∵CE为△ABC中线,∴AE=EC∴∠3=∠A∵CF平分∠ACB∴∠ACF=∠FCB即∠3+∠1=∠2+∠4∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠4=∠A∴∠3+∠1=∠2+∠A∴∠1=∠2（5）C∠ADC=60°∴∠ADB=120°2．（1）∵FB=CE∴BC=FE在Rt△ABC与Rt△DEF中EFBCDFAC∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴AB=DE（2）∵AB⊥BDCD⊥BD∴∠ABD=∠BDC=90°天天教育天天教育-6-∴在Rt△ABD与Rt△CDB中BDBDBDCABDDCAB∴△ABD≌△CDB（SAS）∴∠ADB=∠DBC∴AD//BC（3）在Rt△ACB与Rt△ABD中ABABADBC∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）∴∠CAB=∠DBA，AC=BD∴在Rt△CAE与Rt△BDF中BDACDBFCAEDFBCEA∴△CAE≌△BDF（AAS）∴CE=DF.