初等模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.4汽车刹车距离2.5划艇比赛的成绩2.6实物交换2.7核军备竞赛2.8启帆远航2.9量纲分析与无量纲化2.1公平的席位分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2时，分配公平p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1p2/n2，对不公平Ap1/n1–p2/n2=5公平分配方案应使rA,rB尽量小设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平),(///21222211nnrnpnpnpA~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1p2/n2，定义1）若p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)p2/n2，3）若p1/n1p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况初始p1/n1p2/n2问：p1/n1p2/(n2+1)是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给B当rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给A否则,该席给B,2,1,)1(2innpQiiii定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q值方法minnpQiiii,2,1,)1(2计算，三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席3.964334,5.947663,4.961110103232221QQQ第21席3221,,4.801211103QQQ同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…,nm(自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni应是N和p1,…,pm的函数，即ni=ni(N,p1,…,pm)若qi均为整数，显然应ni=qiqi=Npi/P不全为整数时，ni应满足的准则：记[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向qi方向取整.1)[qi]–ni[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni(N,p1,…,pm)ni(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)即ni必取[qi]–,[qi]+之一即当总席位增加时，ni不应减少“比例加惯例”方法满足1），但不满足2）Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？2.2录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！模型假设•录像带的运动速度是常数v；•计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；•录像带厚度（加两圈间空隙）为常数w；•空右轮盘半径记作r；•时间t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以knmnvrknvwkt222mivtwir1)(22.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即wvtrwknr])[(22nvrknvwkt2223.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(模型建立思考nvrknvwkt2223种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数,,,,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr])[(22vdtkdnwknr2)(思考参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作,2bnant只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t020406080n00001141201927603413t100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得.1045.1,1061.226ba模型检验应该另外测试一批数据检验模型：bnant2)1045.1,1061.2(26ba模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律dTkQQ1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗的功效dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,,)2(212111建模记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,,22212121QQk1=410-3~810-3,k2=2.510-4,k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。dlhhQQ,18121双层窗的功效不会如此之大2.4汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题•正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。•实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：•后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;vtd11Fd2=mv2/2Fm21kvvtdt1为反应时间21ddd且F与车的质量m成正比22kvd•反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k21kvvtd模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则”应修正为“t秒准则”22106.075.0vvkvvtd模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）12342.5划艇比赛的成绩赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l艇宽b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)浆手数n16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n基本不变问题分析•前进阻力~浸没部分与水的摩擦力•前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积•对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定•运用合适的物理定律建立模型模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n