1.3.1函数的单调性(1)课件

现实生活中常需要研究函数的变化规律，如成绩波动情况。新课引入123456060708090100......▲▲▲▲▲▲■■■■■♦♦♦♦♦♦xy王伟■张城班平均分赵磊观察下列函数图象,体会它们“上升”和“下降”的特点:新课引入新课()fxxR函数在上是增函数()yfxR函数在上是增函数()yfxR函数在上是减函数()(0,)yfx函数在上是增函数22()(,0)()(0,)fxxfxx函数在上是减函数函数在上是增函数-21()(,2)()(2,1)()(1,)yfxyfxyfx函数在上是增函数函数在上是减函数函数在上是增函数2()(1)fxx定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.（单调递增区间、单调递减区间）思考：单调区间应该写开区间还是闭区间呢？不能在一点处说函数的单调性。因此，当区间的端点有意义时，单调区间可写开区间也可写闭区间。但区间的端点没有意义时，只能写开区间。例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。如何描述函数图象的“上升”“下降”呢?以二次函数f(x)=x2为例,列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…对比左图和上表,可以发现什么规律?图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0]上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.思考：通过图像很容易判断函数的单调性，但是给出f(x)的解析式时如何确定函数的单调性？思考如何利用函数解析式f(x)=x2及符号语言来描述“随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”?有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上,x1＜x2时,有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的说法对吗?y1x1()fx2x2()fxx0对于二次函数f(x)=x2,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?.0)()()()(,)(,02212122221121增函数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．1．增函数2．减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；一定要说明在什么区间上。若没有说明，则是指在定义域上。注意：2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.思考:一般地，若函数在区间A、B上是单调函数，那么在区间上还是单调函数吗？)(xf)(xfAB下列图象表示的函数是增函数吗？xyo图1xyo图2函数可能在整个定义域内没有单调性,而只在其某个区间内有单调性。多个单调增（减）区间用逗号分隔，而不用“∪”。例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值作差变形定号下结论练习：画出函数f(x)=-2x+1的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x)=-2x+10-12xy证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=-2(x1-x2)由x1x2，得x1-x20于是f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)=3x+2在R上是减函数。变形定号作差下结论取值11解：如图，函数f(x)=-2x+1在R上为减函数小结：1取值：任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差：f(x1)－f(x2)；3变形：通常是因式分解、配方和通分；4定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负；5下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1．书面作业：课本P39习题1．3（A组）第1、2题．作业