二次函数练习题

二次函数练习1．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是22．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为()A．y＝x2＋8x＋14B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3D．y＝x2－4x＋34．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－BZ－1所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是()A．①④B．②④C．①②③D．①②③④图1－BZ－1图1－BZ－25．如图1－BZ－2，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是()A．b≤－2B．b－2C．b≥－2D．b－26将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为______________．7．若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝________．图1－BZ－38．如图1－BZ－3，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________．9．如图1－BZ－4①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．图1－BZ－410．已知二次函数y＝x2＋x的图象如图1－BZ－5所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2＋x＝1的根(精确到0.1)；(2)在同一直角坐标系中画出一次函数y＝12x＋32的图象，观察图象写出自变量x的取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值；(3)如图1－BZ－5，P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在点P上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y＝12x＋32的图象上，请说明理由．图1－BZ－511.如图1－BZ－6，过抛物线y＝14x2－2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为－2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标．(2)在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D.①连结BD，求BD长的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．图1－BZ－612．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．13．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值．(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：m与t的函数表达式为m＝20000（0≤t≤50），100t＋15000（50＜t≤100），y与t的函数关系如图1－BZ－7所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t之间的函数表达式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大，并求出这个最大值．(利润＝销售总额－总成本)图1－BZ－71．B[解析]二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象的对称轴是直线x＝1.∵－10，∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值是2.2．A[解析]∵y＝x2－2x＋m2＋2＝(x－1)2＋m2＋1，∴顶点坐标为(1，m2＋1)．∵1＞0，m2＋1＞0，∴顶点在第一象限．故选A.3．A[解析]∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称．∵点A，C是对角线上的两个点，∴点A，C关于坐标原点对称，∴点C的坐标为(－2，－1)，∴透明纸由点A平移至点C，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位．∵透明纸经过点A时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过点C时，函数表达式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.4．C[解析]①抛物线开口向上，所以a0；抛物线对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b0，所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac0，所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c0；又抛物线与y轴交于负半轴，所以c0，所以a＋b＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的轴对称性知，当x＝3时，y＝9a＋3b＋c0.又－b2a＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c0.所以④错误．综上，正确的是①②③.故选C.5．C[解析]由二次函数系数a，b，c的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y轴的交点(0，1)也是确定不变的．唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的．若抛物线经过点(0，1)和C(2，1)这组对称点，可知其对称轴是直线x＝－b2＝1，即b＝－2时是符合题意的，所以可以排除B，D两个选项，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以－b2≤1，即b≥－2.6．y＝－x2＋6x－11[解析]抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝－(x－3)2－2，即y＝－x2＋6x－11.7．4[解析]二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，说明b2－4ac＝0，即(－4)2－4×1×n＝0，所以n＝4.8．x＜－1或x＞4[解析]由函数图象可知：在点A的左侧和点B的右侧，一次函数的值都大于二次函数的值，∵A(－1，p)，B(4，q)，∴关于x的不等式mx＋nax2＋bx＋c的解集是x＜－1或x＞4.9．12[解析]观察图象，可以获得以下信息：①点P在由B→C的过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数关系，表现在图象上应该是一条线段；②点P在由C→A的过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为二次函数关系，表现在图象上应该是抛物线的一部分；③且当BP⊥AC时，BP的长度最短，反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P到达点A时，此时BP＝5，∴AB＝BC＝5，AC边上的高＝4，此时，由勾股定理可得AC＝2×52－42＝6，∴S△ABC＝12×4×6＝12.10．解：(1)作图描点如图所示．x1≈－1.6，x2≈0.6.(2)画直线如图所示．x＜－1.5或x＞1.(3)平移方法不唯一，如先向上平移54个单位，再向左平移12个单位．平移后二次函数图象的顶点坐标为P(－1，1)．平移后二次函数图象的表达式为y＝(x＋1)2＋1(或y＝x2＋2x＋2)．点P在函数y＝12x＋32的图象上．理由：把P点坐标(－1，1)代入y＝12x＋32，左边＝右边，所以点P在函数y＝12x＋32的图象上．11．解：(1)由题意得A(－2，5)，对称轴为直线x＝－－22×14＝4.∵点A，B关于抛物线对称轴对称，∴B(10，5)．(2)①如图(a)，由题意得点D在以点O为圆心、OC为半径的圆上，∴当点O，D，B共线时，BD长的最小值＝OB－OD＝52＋102－5＝55－5.②如图(b)，连结OD，在Rt△ODE中，OD＝OC＝5，OE＝4，∴DE＝OD2－OE2＝52－42＝3，∴点D的坐标为(4，3)．设PC＝PD＝x，在Rt△PDK中，x2＝(4－x)2＋22，∴x＝52，∴P52，5，∴直线PD的函数表达式为y＝－43x＋253.12．解：(1)由题意得(1＋a)(1－a－1)＝－2，即a(a＋1)＝2，因为y1＝x2－x－a(a＋1)，所以y1＝x2－x－2.(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)，(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得a2－b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0.(3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝12，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x＝12对称．因为函数y1的图象开口向上，所以当mn时，0x01.13．解：(1)由题意，得10a＋b＝30.4，20a＋b＝30.8，解得a＝0.04，b＝30.即a的值为0.04，b的值为30.(2)①当0≤t≤50时，设y与t之间的函数表达式为y＝k1t＋n1，将(0，15)，(50，25)代入，得n1＝15，50k1＋n1＝25，解得k1＝15，n1＝15，∴y与t之间的函数表达式为y＝15t＋15；当50＜t≤100时，设y与t之间的函数表达式为y＝k2t＋n2，将(50，25)，(100，20)代入，得50k2＋n2＝25，100k2＋n2＝20，解得k2＝－110，n2＝30，∴y与t之间的函数表达式为y＝－110t＋30.②由题意知，当0≤t≤50时，W＝2000015t＋15－(400t＋300000)＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大值＝180000；当50＜t≤100时，W＝(100t＋15000)－110t＋30－(400t＋300000)＝－10t2＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250，∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大值＝180250.综上所述，当t＝55时，W最大，最大值为180250元．