绝对值方程的解法

知识点绝对值的性质1.当a0时,|a|=________;2.当a=0时,|a|=________;3.当a0时,|a|=________;由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是正数或0(通常也称非负数).即对任意有理数a，总有|a|≥0.知2－讲1.非负性：任何一个有理数的绝对值总是正数和0，(也称非负数)，即|a|≥0.2.互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a与b互为相反数，则|a|=|b|.反之，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若|a|=|b|,则a＝b或a＝－b.拓展：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.即|a|+|b|+|c|+…+|m|=0，则a＝b＝c＝…＝m＝0.（来自《点拨》）知2－讲【例】下列各式中无论m为何值，一定是正数的是()A.B.C.D．－(－m)导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中当m＝－1时，＝0，不符合题意；选项D中－(－m)＝m显然不符合题意；选项C中，因为≥0，所以＋1≥1，符合题意．m+1m+1m+1mmmC（来自《点拨》）知2－讲【例6】下列各式中无论m为何值，一定是正数的是()A.B.C.D．－(－m)导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中当m＝－1时，＝0，不符合题意；选项D中－(－m)＝m显然不符合题意；选项C中，因为≥0，所以＋1≥1，符合题意．m+1m+1m+1mmmC总结知2－讲由绝对值的非负性得：|m|≥0，所以|m|＋1一定是正数．总结(1)有关绝对值的问题，需利用数轴来分析，这样解题更直观明了，能体现“数”与“形”的完美统一；(2)对于已知一个数的绝对值，求这个数解的情况，解答时，常常利用数形结合思想、分类讨论思想，从而避免漏解的错误．（来自《点拨》）【例】〈易错题〉若|x|＝x，则x是()A．正数B．0C．非负数D．非正数错误答案：A错解分析：一个非负数的绝对值是它本身，错解中只考虑了正数，而忽视了0；|x|＝x表示的意义是：一个数的绝对值等于它本身；而绝对值等于它本身的数是正数和0.解答这类题一定要把正数和0两种情况都考虑到，不要忽视“0”．C绝对值方程的解法从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任何一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程的求解过程又出现了一些新特点．一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：知识回顾设某数为x，根据条件列方程。某数的绝对值为7.某数与2的差的绝对值为7.某数的2倍与1的差的绝对值与某数与3的和的绝对值相等.我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫含有绝对值的方程。如：|x|＝7；|x-2|＝7；|x-2|＝7；|2x-1|＝|x+3|；都是含有绝对值的方程。怎样求含有绝对值的方程的解呢？探究1问题1.如何解关于x的方程|x|＝7？解：根据绝对值的意义，得X=7或x=-7∴方程的解为X=7或x=-7探究1【探究一】解关于x的方程|x|＝a(a为常数)解：当a0时，x=a或x=-a；当a=0时，x=0；当a0时，方程无解。分类讨论的思想！探究1【探究二】解关于x的方程|x-2|＝7问题1.如何解关于x的方程|x-2|＝7？问题2.解方程的过程和步骤怎么写？解：根据绝对值的意义，得x-2=7①或x-2=-7②解①得x=9解②得x=-5∴方程的解为x=9或x=-5探究1【探究三】解关于x的方程|2x-1|＝|x+3|问题1.这个方程与之前所解的方程有什么不同？如何利用绝对值知识来解方程？问题2.解方程的过程和步骤怎么写？分析：若|a|＝|b|,则a=b或a=-b。解：根据绝对值的意义，得2x-1=x+3①或2x-1=-(x+3)②解①得x=4解②得x=∴方程的解为x=4或x=探究1例1已知：有理数x、y、z满足xy0,yz0,并且丨x丨=3，丨y丨=2，丨z+1丨=2，求x+y+z的值。解：由丨z+1丨=2，得z+1=±2，所以z=1或z=-3由xy0知x，y异号；由yz0知，y，z同号；又丨x丨=3，丨y丨=2，故当z=1时，x=-3,y=2，此时x+y+z=-3+2+1=0当z=-3时，x=3,y=-2。此时x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2∴x+y+z的值为0或-2.探究1解下列方程：(1)｜x-5｜+2x=-5；(2)｜3x-1｜=丨2x+1丨；练习1例2：解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析：解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令x-2=0,2x+1=0，分别得到x=2,x=用2，将数轴分成三段：x2，≤x≤2，x＜，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。21212121探究2解：（1）当x＜时，原方程化为-(x-2)-(2x+1)=7，解得：x=-2,在所给的范围x＜之内，x=-2是方程的解。（2）当≤x＜2时，原方程化为-(x-2)+(2x+1)=7，解得：x=4,它不在所给的范围≤x＜2之内，所以x=4不是方程的解，应舍去；(3)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，解得：x=,所以在所给的范围x≥2之内，x=是方程的解；综上所述，原方程的解为x=或x=-221212121383838探究2解下列方程：(1)｜x+3｜-｜1-x｜=x+1；(2)｜x-2｜+｜2x+1｜=8；x=2.5或x=-1.5x=3或x=37练习2由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的方法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏。．绝对值方程一元一次方程转化绝对值的意义整体代换和转化的数学方法1.我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫含有绝对值的方程。如：|x|＝7；|x-2|＝7；|x-2|＝7；|2x-1|＝|x+3|；都是含有绝对值的方程。2.含有绝对值的方程的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．体验收获1.已知：有理数x、y、z满足xy0,yz0,并且丨x丨=4，丨y丨=3，丨z+1丨=2，求x+y+z的值。2.解下列方程：(1)｜x+2｜-｜1-x｜=x+1；(2)｜x-2｜+｜4x+1｜=9.达标测评布置作业绝对值方程的解法课后作业