数值积分方法

第五章数值积分方法计算badxxfI)(()()FaFb但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用初等函数表示；（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。问题提出解决以上情况的积分问题，最有效的办法为数值积分法。此种方法是利用被积函数在一些离散点处的函数值，而求得满足一定代数精度要求的定积分近似值。abab取左端点矩形近似数值积分的思想：分割、近似、求和取右端点矩形近似ab定积分几何意义：曲边梯形的面积数值积分公式的一般形式：0()()nnkkkIfAfx()bafxdx其中011nnaxxxxb求积节点求积系数01,,,kAkn仅与求积节点有关求积公式的截断误差或余项：0()()()nbnkkakEffxdxAfx§5.1插值型求积公式思想用被积函数在区间上的插值多项式近似代替计算()fx[,]ab作n次Lagrange插值多项式:设已知函数在节点上的函数值()fx01naxxxb01(),(),,()nfxfxfx0()()()nnkkkLxlxfx()()bbnaafxdxLxdx()()bbnaafxdxLxdx0()()nbkkaklxfxdx0()()nbkkakfxlxdx0()nkkkAfx其中()bkkaAlxdx余项111()()[]()()!nbnnafEfxdxn011011()()()()()()()()()kknkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx　　　　　　　　则有数值积分公式0()()nbkkakfxdxAfx　　(5.1)这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为插值型数值积分公式。n=1时的求积公式一、梯形公式10011010101()d()()()()d()()()()d()().bkkakbabafxxAfxAfxAfxLxxlxfalxfbxAfaAfb　　　　　　　　　　　　　　00111212()dd()()dd()bbaabbaaxblxxxbaabxalxxxbaba其中2()d()()T(f)(5.2)babafxxfafbab用梯形面积近似这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为梯形数值积分公式。几何意义11011101321212()()()()()(),,!()()d()d()()()d()(),(5.3)bbbaaafRxfxLxxxxxabExfxxLxxfxxxxxbafab截断误差：已知线性插值的截断误差为积分中值定理：连续、不变号()[,]()[,]()()[,]()[,]()xabfxabfxdxxabfxabfxdxbaba对(5.3)可作如下的几何解释：当f在上恒为负时，在上为凸，表示梯形的面积小于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分的值小；当f在上恒为正时，在上为凹，表示梯形的面积大于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分的值大.n=2时的求积公式2001122020011220122()d()()()()()d()()()()()()d()().bkkakbbaafxxAfxAfxAfxAfxLxxlxfxlxfxlxfxxabAfaAfAfb　　　　=二、Simpson公式将[a,b]二等分，等分节点x0=a，x1=(a+b)/2，x2=b作为积分节点，构造二次Lagrange插值多项式L2(x)：00112221264616(()/)()()dd()(()/)()()d()()d().bbaababaxabxbAlxxxbaaababAlxxbaAlxxba其中，，2462()d()d()()()(5.4)bbaabaabfxxLxxfaffbSf这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为辛普森数值积分公式。几何意义：Simpson积分公式的截断误差（定理）：3220122231316()()()()()()()()(),!,()()d()d()()()()d(5.5)bbaabafRxfxLxxxxxxxabExfxxLxxfxaxxxbx　　　542880()()(),bafab积分中值定理：连续、不变号复合求积法通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式Simpson积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间[a,b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。§5.2复合求积公式5.2.1复化梯形积分将[a,b]分成若干小区间，在每个区间[xi,xi+1]上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间[a,b]上的数值积分。这种方法称为复化梯形积分。★计算公式将[a,b]n等分,h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,110110311110121102212111222()d()d()()()()()()()()()()()iinbxaxiniinkniiiiiiiinniiiifxxfxxhfxfxEfxxxxfxfxfhfafxfx积分的性质　　　　　1301212()()niihfbf记为T(h)或Tn(f):1122()()()()nnkkhTffafxfb复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似复化梯形公式复化梯形公式的余项31012()()()nnnkkhRfITff设2()[,]fxCab101min()()()nkaxbaxbkmfxfmaxfxMn由介值定理[,]ab101()()nkkffn余项估计式133032121212()()()()()()(),[,]nnniihhEfIfTffnfbafabn★计算公式将[a,b]2m等分,m为积分子区间数，记n=2m，n+1为节点总数，h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,2221012212201121201442464231802()()()d()d()()()()()()()()()iimbxaximiiinimmiiiiIffxxfxxhfxfxfxEfhfafxfxfbbahf　　　5.2.2复化Simpson公式：复化Simpson公式复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似1121201423()()()()()()mmniiiihSffafxfxfb5.5系数首尾为1，奇数点为4，偶数点为2复化Simpson公式的余项41401802()()()()nnniihhEfISff设4()()[,]fxCab144401()()()min()()()nkaxbaxbkmfxfmaxfxMn由介值定理[,]ab14401()()()()niiffn441802()()()()nnbahEfISff余项估计式例：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分的近似值，要求按复化Simpson公式计算时误差不超过。10sinxIdxx60510.解：首先来确定步长1bahnn444418021802()()()nbahbahRffM复化Simpson公式的余项：44()max()axbMfx其中4M本题的求法：sin()xfxx10costxdt11002()sincos()fxttxdtttxdt11220022()coscos()fxttxdtttxdt由归纳法知102()()cos()kkkfxttxdt1100121()()cos()kkkkfxttxdttdtk415M444111118029002()nRfMnn60510.4n解不等式得将区间8等分，分别采用复化Simpson、梯形公式01[,]01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()ifx复化梯形公式(n=8)复化Simpson公式(n=4)811130228848153712848()()()()()()()()()()Tffffffffff18h0945692.4113570464888811321424()()()()()()()()()()Sffffffffff09460832.14h0946083070367.代数精度的判别方法1Def如果求积公式对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。0()()nnkkkIfAfx0()()nnkkkIfAfx定理求积公式具有次m代数精度的充要条件是为时求积公式精确成立，而为时求积公式不能成为等式。()fx231mxxxx、、、()fx1mx§5.3数值积分公式的代数精度和Gauss求积公式21[()()]badxfafbbaf例　求证梯形公式具有一阶(x)代数精度。1()fxx证首先验证、时，梯形公式准确成立。11122[][()()],bababadxbafafb22222[][()()],babababaxdxabfafb2()fxx再验证时，梯形公式不成立。33222222[][()()],babababaxdxabfafb11()fxxax0由于对于、，梯形公式准确成立，而任一一次多项式可表示成a的形式，所以梯形公式具有一阶代数精度。例2见p73的例5.5Gauss求积公式一、Gauss积分问题的提法前述的求积公式中求积节点是取等距节点，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选取，求积公式的代数精度最高能达到多少？②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？0()()nnkkkIfAfx积分公式的一般形式：形如的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。0()()nbkkakfxdxAfx定理00110011301001122001133001120230()(),dxAfxAfxAxAxxAAAxAxAxAxAxAx21-1例考虑两点插值型求积公式f(x)其中、、、为四个待定常数。由上述定理知，求积公式代数精度为3.再由代数精度的概念知，分别取f(x)=1、x、x、令积分值与数值积分值相等，可得方程组如下　　　　　　　　　这样由方程组的4个方