第二章 时域离散信号和系统的频域分析

第二章时域离散信号和系统的频率分析2.1Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换连续时间、连续频率—傅里叶变换FT时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()()jtXjxtedt1()()2jtxtXjed连续时间、离散频率—傅里叶级数FS时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。000/20/201()()TjktTXjkxtedtT00()()jktkxtXjke离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换DTFT时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续()()jjnnXexne1()()2jjnxnXeed性质见书P29-35离散时间、离散频率—离散傅里叶变换DFT一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的210()()NjnkNnXkxne2101()()NjnkNkxnXkeN四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入ktjkekXtx0)(~)(~0对上式进行抽样，得：导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：连续的傅氏级数离散的傅氏级数knkNjknTjkekXekXnTx200)(~)(~)(~0NT20)(~nTx)(~0kX因是离散的，所以应是周期的。)(~0kX代入而且，其周期为，因此应是N点的周期序列。0/2NT又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjeeee222)(21020)(~)(~)(~~)(~)(~~)(~NknkNjekXnxkXkXnxnTx则有，；，考虑到：1020~~NknkNjekXnTx二.的k次谐波系数的求法1.预备知识)(~nx)(~kXrmmNrNeNnrnNj，其他为任意整数0,,102222212(1)01()NjrnjrjrjrNNNNNneeeeNrmN时同样，当时，p也为任意整数，则])[()0(10)(2pNrkNNNeNnnrkNj)(~)(~)()(~10rXpNrXpNrkkXNk)()()(110)(2pNrkpNrkpNrkeNNnnrkNjpNrk所以亦即2.的表达式将式的两端乘，然后从n=0到N-1求和，则：)(~kXnrNje2102)(~NnnrNjenx102)(~)(~NknkNjekXnx1010)(2)(~NnNknrkNjekX)(~)(~)()(~)(~)(~)(~101010)(21010)(2102rXNpNrXNpnrkNkXekXekXenxNkNkNnnrkNjNnNknrkNjNnnrNj102)(~1)(~,NnnrNjenxNrX因此102102102)(~)(~)(~1)(~,)(~1)(~NkknNjNnknNjNnknNjekXnxenxNkXenxNkXkr对于周期序列所以则有换成将)(~nx的DFS通常将定标因子1/N移到表示式中。即：)(~nx102102)(~1)(~)(~)(~NkknNjNnknNjekXNnxenxkX3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号代入，则：NjNeW210102)(~)(~)(~)(~NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(~1)(~1)(~)(~NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正变换：反变换：4.的周期性)(~kX)(~)(~)(~)(~)(~102102210)(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjNnmnjknNjNnnmNkNj周期性：个不同值。只有这就是说，NkX)(~其中，a,b为任意常数。)(~)(~)(~)(~2211nxDFSkXnxDFSkX)(~)(~)(~)(~2121kXbkXanxbnxaDFS二、DFS的性质1、线性如果则有2、序列的移位)(~)(~kXnxDFS)(~)(~)(~2kXekXWmnxDFSmkNjmkN则有：如果证明：10)(~)](~[NnnkNWmnxmnxDFS令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以mkNmNmiikNWWixmnxDFS1)(~)](~[10()()NmkikmkNNNiWxiWWXk*和都是以N为周期的周期函数。)(~ixikNW3、调制特性如果则有)(~)(~kXnxDFS)(~)(~mkXnxWDFSmnN证明：)(~)(~)(~)](~[10)(10mkXWnxWnxWnxWDFSNnnmkNknNNnmnNmnNmnNjnmNjmnNjmnNeeeW)(222时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。nNje24、周期卷积和1）如果则：)(~)(~)(~21kXkXkY10101221)(~)(~)(~)(~)](~[)(~NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny证明从略。2）两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到可计算出：)(~1mx)(~2mx)(~2mx)0(~)(~22mxmx1102011010101)0(~)(~)0(~5021mmxmxy)(~2mxm计算区)(~2mxmm)(~1mx0123)(~2mx)1(~2mx1101001010111)1()(~)1(~5021mmxmxy（3）将右移一位、得到可计算出：)1(~2mxm计算区)(~2mxmm)(~1mx0123)1(~2mxm（4）将再右移一位、得到，可计算出：)(~2mx)2(~2mx3100001011121)2()(~)2(~5021mmxmxy（5）以此类推，4000001112111)3(~)(~)3(~5021mmxmxy,4)4(~y同样，可计算出：3)5(~y)(~nyn1344计算区313.频域卷积定理如果，则)(~)(~)(~21nxnxny1012102110)(~)(~1)(~)(~1)(~)(~)(~NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY证明从略。DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。mNnn1101Nn1Nnn1n)(1nNn例如：(1)(2)7252792259,2591nNnNn5455949,49NnNn先取模值，后进行函数运作;而视作将周期延拓。含义1nxnxNNnxnx11nx2.二.有限长序列x(n)和周期序列的关系)(~nx()()mxnxnmN=)(~nx,0nN-10,其他n)(nx周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。)(~nx有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。)(~nxNnx()()()NxnxnRn或如：N-1nx(n)0......n)(~nx0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列与有限长序列X(k)的关系)(~kX)()(~)()(~kRkXkXkXkXNN同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。)(~kX)(~kX四.从DFS到DFT10)(~)(~)(~NnnkNWnxnxDFSkX10)(~1)(~)(~NknkNWkXNkXIDFSnx从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX,0kN-1,0nN-1或者：)()(~)()()(~)(nRnxnxkRkXkXNN五、DFT的性质1、线性1）两序列都是N点时如果则有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT2）和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。)(1nx)(2nx21,maxNNN2、序列的圆周移位1）定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：nRmnxnxNNm)(Nnxnx)(~Nmnxmnx)(~nRmnxnxNNm)(()xn()xnn)(nx0N-1nNnxnx))(()(~0周期延拓nNnxnx2)2(~0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-12）圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。()xn()xn()xn12345n=0N=6左移顺时3、圆周卷积和1）时域卷积定理设和均为长度为N的有限长序列，且)(1nx)(2nx11()(),DFTxnXk)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY如果，则)()()()(11021nxnRmnxmxkYIDFTnyNNmN)(2nx)()()(21012nxnRmnxmxNNmN)(1nx证明：相当于将作周期卷积和后，再取主值序列。12(),()xnxn将周期延拓：()yk)(~)(~~21kXkXkY）（则有：10211021))(()(~)(~)(~)(~NmNNNmmnxmxmnxmxkYIDFSny在主值区间，所以：1101,(())()NmNxmxm)()()()(~)(11021nxnRmnxm