第五章-排队论(Queuing-Theory)

1第五章排队论(QueuingTheory)排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是运筹学的一个主要分支。1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A.K.Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领域中均得到应用。2排队结构服务机构顾客源顾客到达排队规则服务规则离去图1排队系统示意图§1.1排队系统的组成与特征排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说明：§1排队论的基本概念3输入即为顾客的到达，可有下列3种情况：1）顾客来源。顾客总体(称为顾客源)的组成可能是有限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以认为总体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有限的总体。2）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。1.输入过程43）顾客流的概率分布。顾客随机一个(批)个(批)来到排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的顾客之间的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布参数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时间变化的还是平稳的。52.排队规则1）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离去，这种服务规则就是损失制。2）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等待服务，服务完才离开。（1）先到先服务FCFS（2）后到先服务LCFS（3）随机服务RAND（4）有优先权服务PR。63.服务机构1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构，如：112n....12n。。。单队单服务台多队多服务台（并列)单队多服务台（并列）12n...12312单队多服务台（串列）混合形式7上述特征中最主要的、影响最大的是：•顾客相继到达的间隔时间分布•服务时间的分布•服务台数D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。3)服务时间分为确定型和随机型。4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。§1.2排队系统的模型分类8式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic，Ek—K阶爱尔朗分布Erlang，GI—一般相互独立随机分布(GeneralIndependent)，G—一般随机分布。Y——填写服务时间分布（与上同）Z——填写并列的服务台数A——排队系统的最大容量B——顾客源数量C——排队规则如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。9系统指标(1)队长，指在系统中的顾客数，它的期望值记Ls；(2)排队长，指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作Lq系统中顾客数在队列中等待服务的顾客数正被服务的顾客数+=一般情形，Ls(或Lq)越大，说明服务效率越低。10(3)逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws；(4)等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq；等待时间服务时间+逗留时间=111.3排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。121.4排队问题求解(主要指性态问题)求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：1.确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。2.研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。13求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：nttnp)(plim稳态的物理意义见右图，系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳态概率Pn并不一定求t→∞的极限,而只需求Pn’(t)=0即可。过渡状态稳定状态pnt图3排队系统状态变化示意图称为稳态(steadystate)解，或称统计平衡状态(StatisticalEquilibriumState)的解。14§2排队论主要知识点•排队系统的组成与特征•排队系统的模型分类•顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布•稳态概率Pn的计算•标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])•系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]•顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]•标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]15•M/M/C型系统和C个M/M/1型系统•系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞)•顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)•一般服务时间的（M/G/1）模型–Pollaczek-Khintchine(P-K)公式–定长服务时间M/D/1模型•爱尔朗服务时间M/Ek/1模型•排队系统优化•M/M/1模型中的最优服务率u–标准的M/M/1Model–系统容量为N的情形•M/M/C模型中最优服务台数C16§3到达间隔时间分布和服务时间的分布一个排队系统的最主要特征参数是顾客的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现存系统原始资料统计出它们的经验分布（见P315—319），然后与理论分布拟合，若能照应，我们就可以得出上述的分布情况。17§3.1经验分布经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。分布的拟合检验一般采用2检验。由数理统计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度为k-r-1的2分布，其中k为分组数，r为检验分布中被估计的参数个数。18§3.2理论分布tnnenttP!)(}{式中λ为常数(λ0)，称X服从参数为λ的泊松分布，若在上式中引入时间参数t，即令λt代替λ，则有：1.泊松分布在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为X，则有：!}{nenxPnn=0,1,2,…（1）与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程，即泊松过程。t0，n=0,1,2,…（2）19})()({},{1221ntNtNPttPn（t2t1，n≥0）若设N(t)表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数(t0),Pn(t1,t2)表示在时间区间[t1,t2)(t2t1)内有n(≥0)个顾客到达的概率。即：在一定的假设条件下顾客的到达过程就是一个泊松过程。当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流)。20①无后效性：各区间的到达相互独立,即Markov性。.......t0t1t2…tn-1tn}|)({}|)({11112211)()(,...,)(,)(nnnnxtxnxtxxtxxtxnntxPntxP也就是说过程在t+Δt所处的状态与t以前所处的状态无关。②平稳性：即对于足够小的Δt，有：)()(tttttP，1普阿松流具有如下特性：在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而与Δt成正比。21③普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt）内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小.由此知，在(t，t+Δt)区间内没有顾客到达的概率为：)(1),(0tottttP令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)λ0是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。2)(),(nntotttP即P0+P1+P≥2=1在上述假设下，t时刻系统中有n个顾客的概率pn(t)：22[0，t)[t,t+Δt[0,t+Δt区间情形个数概率个数概率概率Anpn(t)01-t+(t)pn(t)(1-t+(t)Bn-1pn-1(t)1tpn-1(t)t(t)(t)n-2Pn-2(t)2Cn-3Pn-3(t)30P0(t)n)()(1)1)(()(tttnPttnPttnP)()(1)()()(ttntPtntPtnPttnPtttnPtnPttnPttnP)()(1)()()(23)()()(1tPtPdttdPnnn………(1))()(00tPdttdP1)0(0P………(2)当n=0时，则∴te)t(P0……(3)（没有顾客到达的概率）（n个顾客到达的概率）tnnenttP!)()(（4）瞬态方程（1）、（2）两式求导并令导数为0，得稳态概率：0)0(nP24级数...!nx...!xxenx212∴tkke!k)t(0!)()()]([11ntnetnPtNEnntnn)!1()(11nttennt令k=n-1，则：!)()]([0kttetNEkkttetetNEtt)]([ttar))(N(V同理方差为：顾客到达过程是一个泊松过程(泊松流)。期望25λ表示单位时间内顾客平均到达数。1/λ表示顾客到达的平均间隔时间。对顾客的服务时间：系统处于忙期时两顾客相继离开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，1][TE21][TVar接受服务，然后离开服务时间的分布：2.负指数分布可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间隔T独立且服从负指数分布。（等价）tetF1)(tetf)(，则26其中：μ表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均服务率。1/μ表示一个顾客的平均服务时间。3.爱尔朗(Erlang)分布设v1,v2，…,vk是k个独立的随机变量，服从相同参数k的负指数分布，那么：tetF1)(tetf)(，则令，则ρ称为服务强度。kT2127串联的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数k），那么一顾客走完k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k阶Erlang分布。011te)!k()kt(k)t(ftkkk则称T服从k阶爱尔朗分布。其特征值为：1][TE21][kTVar,其概率密度是1/kμ表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。28例:有易碎物品500件,由甲地运往乙地,根据以往统计资料,在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎,其破损率为0.002,现求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破损的概率.解:∵λ=0.002×500=11．破碎3件物品的概率为:P(