土木工程结构设计

东南大学土木工程结构设计作业如图所示，预应力混凝土两跨连续梁，截面尺寸b×h=350mm×900mm，预应力筋线性布置如图所示（二次抛物线），且已知有效预应力为1200kN（沿全长）。（9根直径为15.2mm低松弛1860级钢绞线）混凝土的弹性模量为MPaEc4103.25，（C40混凝土），抗拉强度MPaftk3。（1）若作用60mkN/向下均布荷载（含自重），试计算此时跨中挠度；（2）若均布荷载增加到120mkN/（含自重），此时跨中挠度是否为60mkN/均布荷载下跨中挠度的两倍？如恒载与可变荷载各为60mkN/，梁跨中需要配HRB400钢筋的面积为多少？单位：mm10010010010000100001.预应力梁等效荷载法由题意，预应力钢筋的轴线为二次抛物线，则有效预加力NPe产生一个与均布荷载作用下梁的弯矩图相似的弯矩图。预应力筋的轴线为单波抛物线，则有效预加力NPe在单波抛物线内的梁中将产生一个等效的均布荷载qe，其值:𝑞𝑝=8𝑁𝑃𝑒𝑒𝑝𝑛𝑙2（1-1）epn为该抛物线的垂度，即单波抛物线中点到两端点所连成直线的距离，即：𝑒𝑝𝑛=𝑒𝑝𝑛，𝐴+𝑒𝑝𝑛，B2+𝑒𝑝𝑛，m（1-2）l为该抛物线在水平线上的投影长度。对称结构选取单跨梁进行分析，其中，𝑒𝑝𝑛，𝐴=0，𝑒𝑝𝑛，𝐴=350𝑚𝑚，𝑒𝑝𝑛，𝑚=−350𝑚𝑚，𝑙=10𝑚，𝑁𝑃𝑒=1200𝐾𝑁，代入式（1-1）和式（1-2），得：𝑒𝑝𝑛=525𝑚𝑚，𝑞𝑝=50.4𝐾𝑁/𝑚。作用在双跨连续梁上的等效均布荷载如图1-1所示。图1-1：双跨连续梁等效均布荷载图2.连续梁弯矩等效荷载qe及恒活荷载q均为作用在双跨连续梁上的均布荷载，计算简图如图2-1所示，根据结构力学相关知识，对称双跨梁在对称荷载作用下，可以等效为一半结构进行分析，约束可以简化为一端简支、一端固定，如图2-2所示，其弯矩、剪力、支座反力及挠度如下表2-1所列。qp=50.4KN/m图2-1连续梁均布荷载计算简图图2-2等效计算表2-1一端简支一端固定梁受均布荷载的反力、剪力、弯矩和挠度荷载反力𝑅𝐴=38𝑞𝑙，𝑅𝐵=58𝑞𝑙剪力𝑉𝐴=𝑅𝐴，𝑉𝐵=−𝑅𝐵弯矩弯矩𝑀1=116𝑞𝑙2𝑀2=18𝑞𝑙2𝑥=38𝑙，𝑀𝑚𝑎𝑥=9128𝑞𝑙2剪力扰度𝑥=0.442𝑙𝑤𝑚𝑎𝑥=0.00542𝑞𝑙4𝐸𝐼根据表2-1所列各式，在各均布荷载作用下，跨中截面及支座截面的弯矩值计算如表2-2所示（不考虑活荷载的最不利布置，即满跨布置均布活荷载）。qqqABlM2M1MmaxRARB表2-2各均布荷载下跨中截面及支座截面弯矩值（kN·m）荷载（kN/m）M1,kM2,kMmax,k1𝑞𝑝=50.4315630354.3752𝑔1,𝑘=60375750421.8753𝑔2,𝑘=1207501500843.754𝑞3,𝑘=60375750421.8755𝑔3,𝑘=60375750421.875对于使用等效荷载法分析后后张法预应力混凝土超静定梁，其综合弯矩𝑀𝑝可以分为主弯矩𝑀𝑝1和次弯矩𝑀𝑝2两部分，其中，主弯矩𝑀𝑝1为预加力值𝑁𝑃𝑒与偏心距𝑒𝑝𝑛的乘积，次弯矩𝑀𝑝2为综合弯矩减去主弯矩（也可理解为由等效荷载作用下，中间支座反力所产生的附加弯矩）。预应力筋等效弯矩法的综合弯矩𝑀𝑝图、主弯矩𝑀𝑝1图、次弯矩𝑀𝑝2图如图2-3至2-5所示。图2-3预应力等效荷载的综合弯矩𝑀𝑝图（kN·m）图2-3预应力等效荷载的主弯矩𝑀𝑝1图（kN·m）630315315354.4354.4420420420图2-4预应力等效荷载的主弯矩𝑀𝑝2图（kN·m）3.裂缝控制验算对于裂缝控制验算，应取支座及跨中最不利截面进行验算。由于跨内最不利截面的位置及弯矩与多种因素有关，一般情况下，可取跨中截面和荷载作用下的最大弯矩截面进行验算，即对支座截面和跨中弯矩最大截面验算。3.1.计算截面特征矩形截面梁的截面几何性质如表3-1所列（不考虑后张法预应力孔道对截面积及截面惯性矩的影响）。表3-1矩形截面梁的截面几何性质𝑏×ℎ350𝑚𝑚×900𝑚𝑚𝐴315000𝑚𝑚2I2.12625×1010𝑚𝑚4𝑦𝑡450𝑚𝑚𝑦𝑐450𝑚𝑚3.2.验算裂缝控制等级对于问题（1）、（2），可定义三种不同的荷载组合分别计算，荷载组合如表3-2所示。表3-2荷载组合210105105荷载组合荷载工况组合1𝑞𝑝+𝑔1,𝑘组合2𝑞𝑝+𝑔2,𝑘组合3𝑞𝑝+𝑞3,𝑘+𝑔3,𝑘3.2.1.按荷载效应的标准组合对于预应力混凝土梁，荷载效应的标准组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力σ𝑐𝑘及扣除全部预应力损失后在抗裂度验算边缘的混凝土预压应力σ𝑝𝑐计算公式如式（3-1）及式（3-2）所示（考虑到截面积相对于预应力孔道面积及预应力筋的面积大的多，实际计算时用I、A代替I0、In、An计算）。（1）中间支座截面：σ𝑐𝑘=−𝑀𝑘,2∙𝑦0𝑐𝐼0≈−𝑀𝑘,2∙𝑦𝑐𝐼(3-1)σ𝑝𝑐=𝑁𝑝𝑒𝐴𝑛+−𝑀𝑝𝑐,2∙𝑦𝑛𝑐𝐼𝑛≈𝑁𝑝𝑒𝐴+−𝑀𝑝𝑐,2∙𝑦𝑐𝐼（2）跨中截面：σ𝑐𝑘=𝑀𝑘,𝑚𝑎𝑥∙𝑦0𝑡𝐼0≈𝑀𝑘,𝑚𝑎𝑥∙𝑦𝑡𝐼(3-2)σ𝑝𝑐=𝑁𝑝𝑒𝐴𝑛+𝑀𝑝𝑐,𝑚𝑎𝑥∙𝑦𝑛𝑡𝐼𝑛≈𝑁𝑝𝑒𝐴+𝑀𝑝𝑐,𝑚𝑎𝑥∙𝑦𝑡𝐼梁的标准组合弯矩值为：𝑀𝑘=𝑀𝑔,𝑘+𝑀𝑞,𝑘，按荷载效应的标准组合时的抗裂等级验算如表3-2所示。表3-2荷载效应标准组合抗裂等级验算组合截面𝑀𝑘（kNm）𝜎𝑐𝑘（MPa）𝜎𝑝𝑐（MPa）𝜎𝑐𝑘−𝜎𝑝𝑐（MPa）组合1支座75015.8717.14-1.270，一级跨中421.888.9311.31-2.380，一级组合2支座150031.7417.1414.6ftk=3.0，三级跨中843.7517.8611.316.55ftk=3.0，三级组合3支座150031.7417.1414.6ftk=3.0，三级跨中843.7517.8611.316.55ftk=3.0，三级3.2.2.按荷载效应的准永久组合根据《建筑结构荷载规范》（GB50009-2012）表5.1.1，梁的活荷载准永久值系数𝜑𝑞取为0.5。梁的准永久组合弯矩值为：𝑀𝑞=𝑀𝑔,𝑘+𝜑𝑞𝑀𝑞,𝑘，按荷载效应的准永久组合时的抗裂等级验算如表3-3所示。表3-3荷载效应准永久组合抗裂等级验算组合截面𝑀𝑘（kNm）𝜎𝑐𝑞（MPa）𝜎𝑝𝑐（MPa）𝜎𝑐𝑞−𝜎𝑝𝑐（MPa）组合1支座75015.8717.14-1.270，一级跨中421.888.9311.31-2.380，一级组合2支座150031.7417.1414.6ftk=3.0，三级跨中843.7517.8611.316.55ftk=3.0，三级组合3支座112523.8117.146.67ftk=3.0，三级跨中632.8113.4011.312.09ftk=3.0，三级对于裂缝控制等级为三级时，需要验算荷载标准组合的裂缝宽度𝑤𝑚𝑎𝑥≤𝑤𝑙𝑖𝑚。根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）表3.4.5查环境类别为二类a（一般环境）时预应力混凝土构件裂缝等级为三级时的𝑤𝑙𝑖𝑚=0.1𝑚𝑚。对荷载组合3，即恒活荷载各为60kN/m时，进行裂缝宽度的验算。4.正截面受弯承载力计算当内力按弹性理论进行分析时，受弯承载力计算应考虑次弯矩的作用，但次弯矩的荷载系数取为1.0（跨中截面处的𝑀𝑝2应取x=38𝑙处对应次弯矩）。对于正截面受弯承载力计算，应取支座截面和跨内最不利截面进行计算。由于跨内最不利截面的位置及内力不易确定，因此，在一般情况下可取恒荷载作用下弯矩最大的截面进行计算（不考虑活荷载的不利布置）。支座截面与跨中截面弯矩设计值计算公式为式（4-1）及式（4-2）（1）中间支座截面：𝑀𝐵1=1.2𝑀𝑔,𝑘+1.4𝑀𝑞,𝑘+1.0𝑀𝑝2𝑀𝐵2=1.35𝑀𝑔,𝑘+1.4×0.7𝑀𝑞,𝑘+1.0𝑀𝑝2𝑀𝐵=𝑚𝑎𝑥{𝑀𝐵1,𝑀𝐵2}(4-1)（2）跨中截面：𝑀𝑚𝑎𝑥1=1.2𝑀𝑔,𝑘𝑚𝑎𝑥+1.4𝑀𝑞,𝑘𝑚𝑎𝑥+1.0𝑀𝑝2𝑀𝑚𝑎𝑥2=1.35𝑀𝑔,𝑘𝑚𝑎𝑥+1.4×0.7𝑀𝑞,𝑘𝑚𝑎𝑥+1.0𝑀𝑝2𝑀𝑚𝑎𝑥=𝑚𝑎𝑥{𝑀𝑚𝑎𝑥1,𝑀𝑚𝑎𝑥2}(4-2)各工况组合下，预应力梁的正截面弯矩设计值如下表4-1所列。表4-1各工况下预应力梁弯矩设计值（kN·m）中间支座弯矩𝑀𝐵跨中弯矩𝑀𝑚𝑎𝑥组合1-802.5648.23组合2-18151217.81组合3-17401175.644.1.中间支座截面根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）,连续梁跨中截面相关计算过程如表4-2所列（𝛼𝑠取为40mm,𝛼𝑝取为100mm,则近似取ℎ0=820𝑚𝑚）。表4-2各工况组合下预应力梁中间支座截面配筋计算计算公式`组合1组合2组合3MB(mkN)-802.5-1815-17400h(mm)820820820210BscMfbh0.1780.4040.387112s0.1980.562ξb=0.5180.525ξb=0.518x=ζh0162.36取ξbh0=424.76取ξbh0=424.76𝐴𝑠=𝑀𝐵−𝐴𝑃𝑓𝑃𝑦(ℎ𝑜𝑝−0.5𝑥)𝑓𝑦(ℎ𝑜𝑠−0.5𝑥)-14070392733012min/mmsA，673.31673.31673.31实配钢筋（2mm）4251964825343672534364.2.跨中截面跨中截面取距边支座x=38𝑙处的截面进行计算，近似取ℎ0𝑝=760𝑚𝑚，取ℎ0𝑠=860𝑚𝑚，则可取ℎ0=820𝑚𝑚。计算过程如表4-3所示。表4-3各工况组合下预应力梁跨中截面配筋计算计算公式`组合1组合2组合3MB(mkN)648.231217.811175.640h(mm)820820820210BscMfbh0.1440.2710.262112s0.1560.3230.310x=ζh0127.92264.86254.20𝐴𝑠=𝑀𝐵−𝐴𝑃𝑓𝑃𝑦(ℎ𝑜𝑝−0.5𝑥)𝑓𝑦(ℎ𝑜𝑠−0.5𝑥)06924942min/mmsA，673.31673.31673.31实配钢筋（2mm）3251473325147332514735.预应力混凝土受弯构件的变形验算5.1.考虑长期影响时刚度B的计算5.1.1.短期刚度Bs计算对于组合1，其裂缝控制等级为一级，即预应力混凝土受拉区不出现拉应力，其短期刚度Bs计算公式见式（5-1），对于组合2和组合3，其裂缝控制等级为三级，允许出现裂缝，其短期刚度计算公式见式（5-2）。𝐵𝑠=0.85𝐸𝑐𝐼0≈0.85𝐸𝑐𝐼(5-1)𝐵𝑠=0.85𝐸𝑐𝐼0𝑘𝑐𝑟+(1−𝑘𝑐𝑟)𝜔≈0.85𝐸𝑐𝐼𝑘𝑐𝑟+(1−𝑘𝑐𝑟)𝜔(5-2)其中：𝑘𝑐𝑟=𝑀𝑐𝑟𝑀𝑘=(𝜎𝑝𝑐+𝛾𝑓𝑡𝑘)𝑊0𝑀𝑘(𝑘𝑐𝑟≤1)γ=(0.7+120ℎ)𝛾𝑚ω=(1+0.21𝛼𝐸𝜌)(1+0.45𝛾𝑓)−0.7注：1.矩形截面，