机器人工程-空间描述和变换(二)

机器人工程RobotEngineering空间描述和变换(二)ByQIANJinwu复习和回顾•方向余弦矩阵•坐标变换•R和T提纲•变换算术（复合变换、变换求逆）•变换方程式和变换关系图•变换的左乘和右乘•变换的算子含义•的三种解释BAT1变换算术•包括变换的乘法（复合变换）和变换的求逆（逆变换）1）复合变换pCvpAv1{}A{}B{}CpAv已知：欲求：pCvpAv可见：pTpCCBB=pTTpTpCCBBABBAAvvv==CBBACATTT=用：AApRvBBpRv复合变换用：=1000BORGABABApRTv=1000CORGBCBCBpRTv代入，得到：+=1000BORGACORGBBACBBACAppRRRTvv变换算术-求逆已知：=1000BORGABABApRTv没有一般矩阵求逆那样复杂1000求逆公式为：[]-=-10001BORGATBATBABApRRTv求逆公式的证明•由于旋转变换的正交性质：TBABAABRRR==-1•按照齐次变换的定义：•按照齐次变换的定义：=1000AORGBABABpRTv•其中待求AORGBp•前已知道：BORGABBAAppRp+=vv•同样有：AORGBAABBppRp+=vv•同样有：•当p点取在{B}的原点时：0vv=pB•代入上式有：AORGBBORGAABppR+=vv0•于是：BORGAABBORGApRpvv=-BORGATBApRv=-•代入式：BT•代入式：ABT[]-==-10001BORGATBATBABAABpRRTTv•证明完毕。齐次变换求逆公式的其他表达•设：=1000zzzzyyyyxxxxBApaonpaonpaonT1000++-++-++-=-1000)()()(1zzyyxxzyxzzyyxxyyxzzyyxxzyxBApapapaaaapopopoooopnpnpnnnnT变换求逆应用举例•坐标系{B}相对于坐标系{A}绕轴zA转30度，并沿xA轴平移4个单位，沿yA轴平移3个单位，求ABT•解：先求，再求逆得到BATABT-=-=1000010030866.05.0405.0866.0100001003030cos30sin4030sin30cosooooBAT•按上述求逆公式容易求得：---=598.00866.05.0964.405.0866.0--=10000100598.00866.05.0ABT2变换关系图和变换方程式•1）变换关系图{}A{}DUTDATDCCBBUDAAUTTTTT=•2）变换方程式11--=DCDAAUBUCBTTTTT{}U{}B{}CBUTDCTAT?=CBTDDABC3变换的左乘和右乘由矩阵运算规律知，两矩阵相乘，次序是不能交换的。0110TTTT≠10212110TTTT≠从变换几何来看,左乘与右乘代表不同的变换顺序和规则。举例说明-=001001002000110T0y0z0x1yz100000100y0x1x1z表示坐标系{0}绕x0轴转900，再沿x0轴平移20，得到坐标系{1}-=00011001021T1y1zx2x2yz=100001002T1x2z表示坐标系{1}绕z1轴转900，再沿x1轴平移10，得到坐标系{2}•看右乘的结果--==10000001010030010211020TTTy0zxy0y0x1y1z1x2x2y2z•可见矩阵右乘表示沿当前坐标系（新坐标系）的轴进行变换•再来看左乘=1000001020001101001021TT0zy•左乘的作用：相0y0x1x1y1z2z2x2y•左乘的作用：相当于将坐标系{1}整体沿z0轴转900，再沿x0轴平移10。•可见，左乘表示沿基础坐标系的变换归纳：“左基右一”•变换矩阵的左乘表示沿“基”础坐标系的变换•变换矩阵的右乘表示沿当前（“{1}”）坐标系的变换变换•思考一题以下变换，分别从右乘和左乘解释：),(),(θzRotbyTrans4变换的算子含义•上述坐标变换还可以理解为算子（operator）•算子指在同一坐标系中来移动一个点，或者旋转一个矢量，或者复合变换一个矢量•算子包括平移算子、旋转算子和一般算子•算子包括平移算子、旋转算子和一般算子1）平移算子•矢量（点）被矢量平移的结果得到一个新的矢量（点）1pAvQAv2pAvQppAAAvvv+=122pAvQAv1pAvTAqqqQ),,(=vQpp+=12•把上述平移运算写成矩阵形式：=1),,(112pqqqTranspAzyxAvv=110001000100011pqqqAzyxvTzyxAqqqQ),,(=称为平移算子2）旋转算子•一个矢量经过一定的旋转变换为一个新矢量，若用R表示这一旋转算子，则：1pAv2pAv12pRpAAvv⋅=12pRp⋅=•例如，绕z轴转角的算子可写成：θ-==1000cossin0sincos),(θθθθθzRotR1pAv2pAvxyθ•或写成齐次表达形式-=0000),(θθθθθcssczRot=1000010000),(θθθcszRot旋转算子举例•已知点U=(7,3,2)T,将此点绕z轴旋转90度，再绕y轴旋转90度，求最后得到的点W•解：•解：UzRotyRotWoo)90,()90,(==--=372237100090cos90sin090sin90cos90cos090sin01090sin090cosoooooooo3）一般算子（平移加旋转）•算子T，转动并平移一个矢量，得到新矢量1pAv2pAv12pTpAAvv=12pTp==1000),(QKRotTvθ=zyxqqqQv•T表示一矢量沿K轴转过角，再沿Q平移|Q|的距离θ5.的三种解释•解释一：坐标系的描述BAT=1000BORGABABApRTv表示坐标系{B}在坐标系{A}中1000B•式中的各列为{B}的单位轴在{A}上的投影，或{B}的方向余弦。•表示{B}的原点位置在坐标系{A}中的描述。BARBORGApv•解释二：坐标变换反映同一点在不同坐标系中的描述的相互关系pTpBAAvv=pTpBBAAvv=•或将映射为BATpBvpAv•解释三：变换算子表示在同一坐标系中，对一个点的进行移动或（和）转动运算12pTpAAvv=习题•已知矢量和坐标系u为由F所描述的一点。kjiu223++=-=100011002000110010Fu为由F所描述的一点。(1)确定表示同一点但由基础坐标系描述的矢量v；(2)首先让F绕基坐标系的y轴旋转90度，然后沿基坐标系的x方向平移20，求得到的新坐标系F’；(3)确定表示同一点但由坐标系F’所描述的矢量v’；(4)作图表示u,v,v’,F,F’之间的关系。1000