数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全-丁玉美)第二章

时域离散信号和系统的频域分析第２章第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式2.2FT和ZT的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性2.4例题2.5习题与上机题解答时域离散信号和系统的频域分析第２章2.1数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。Z变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。时域离散信号和系统的频域分析第２章在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。时域离散信号和系统的频域分析第２章2.1.1（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。时域离散信号和系统的频域分析第２章（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。（6）系统的传输函数和系统函数的求解。（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。时域离散信号和系统的频域分析第２章2.1.2重要公式（1）nnnxeXjje)()(ππjjde)e(21)(－nXnx这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件，即nnx)(时域离散信号和系统的频域分析第２章（2）knxnxkXNnknNe)(~)](~[DFS)(~10π2jnkXNkXnxkknNe)(~1)](~[IDFS)(~π2j这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对，可用以表现周期序列的频谱特性。时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）)π2(δ)(~π2)](~[FT)e(jkkNkXNnxX该式用以求周期序列的傅里叶变换。如果周期序列的周期是N，则其频谱由N条谱线组成，注意画图时要用带箭头的线段表示。（4）若y(n)=x(n)*h(n),则)e()e()e(jjjHXY这是时域卷积定理。时域离散信号和系统的频域分析第２章（5）若y(n)=x(n)h(n),则)e()e(π21)e(jjjXHY这是频域卷积定理或者称复卷积定理。（6）)]()([21)(enxnxnx)]()([21)(onxnxnx时域离散信号和系统的频域分析第２章式中,xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列，常用以求序列的xe(n)和xo(n)。（7）nnznxzX)()(),(d)(π21)(1xxcnRRczzzXjnx这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。时域离散信号和系统的频域分析第２章（8）d)(π21)(222jneXnxcnvvvYvXnynxd)1()(π21)()(]1,min[]1,max[yxyxRRvRRyxyxRRRR1时域离散信号和系统的频域分析第２章前两式均称为巴塞伐尔定理，第一式是用序列的傅里叶变换表示，第二式是用序列的Z变换表示。如果令x(n)=y(n)，可用第二式推导出第一式。（9）若x(n)=a|n|,则)1)(1(1)(12azazazX1azax(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列，一些测试题都是用它演变出来的。时域离散信号和系统的频域分析第２章2.2FT和ZT（1）FT的逆变换为ππjjde)e(π21)(－nXnx用留数定理求其逆变换，或者将z=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函数，再用求逆Z变换的方法求原序列。注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线c可取单位圆。时域离散信号和系统的频域分析第２章例如，已知序列x(n)的傅里叶变换为jje11)e(aX1a求其反变换x(n)。将z=ejω代入X(ejω)中，得到111)(azzX因极点z=a，取收敛域为|z||a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。（2）ZT的逆变换为),(d)(π21)(1xxcnRRczzzXjnx时域离散信号和系统的频域分析第２章求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆Z变换有两个关键。一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话：①收敛域包含∞点，序列是因果序列；②收敛域在某圆以内，是左序列；③收敛域在某圆以外，是右序列；④收敛域在整个z面，是有限长序列；⑤以上②、③、④均未考虑0与∞两点，这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。时域离散信号和系统的频域分析第２章2.3求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。但分析频率特性使用Z变换却更方便。我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。时域离散信号和系统的频域分析第２章根据零、极点分布可定性画幅频特性。当频率由0到2π变化时，观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，在极点附近会形成峰。极点愈靠进单位圆，峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。当然，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。滤波器是高通还是低通等滤波特性，也可以通过分析极、零点分布确定，不必等画出幅度特性再确定。一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带；阻带在最靠近单位圆的零点附近，如果没有零点，则离极点最远的地方是阻带。参见下节例2.4.1。时域离散信号和系统的频域分析第２章2.4例［例2.4.1］已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。（某解：将系统函数写成下式:19.011)(zzH9.09.011)(1zzzzH＝时域离散信号和系统的频域分析第２章系统的零点为z=0，极点为z=0.9，零点在z平面的原点，不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处，因此滤波器的通带中心在ω=0处。毫无疑问，这是一个低通滤波器。［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)为实序列，X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。已知其它0241021)(nnnxr求X（ejω）=FT［x(n)］。时域离散信号和系统的频域分析第２章解：Xe(ejω)=FT［xr(n)］)2cos1(21e41e4121)]([FT)e(2j2jrjenxX)]e()e([21)e(jjjeXXX因为X(ejω)=0π≤ω≤2π所以X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=00≤ω≤π时域离散信号和系统的频域分析第２章当0≤ω≤π时，，故)e(21)e(jjeXX)2cos1(21)e(21)e(jjeXX2cos1)e(jX当π≤ω≤2π时，X(ejω)=0，故02cos1)e(jX0≤ω≤ππ≤ω≤2π时域离散信号和系统的频域分析第２章因此Re［X(ejω)］=X(ejω)Im［X(ejω)］=0［例2.4.3］已知02)(nNnnx0≤n≤NN+1≤n≤2Nn0,2Nn求x(n)的Z变换。时域离散信号和系统的频域分析第２章解：题中x(n)是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。设y(n)=RN(n)*RN(n),则0)1(210)()()(nNnnRnRnyNNn00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n将y(n)和x(n)进行比较，得到y(n－1)=x(n)。因此Y（z）z－1=X(z)Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］时域离散信号和系统的频域分析第２章zzzzzzznRNNNNnnN0,)1(111)]([ZT1110故212111111)1(1)1(1)(zzzzzzzzzzzXNNNNNN［例2.4.4］时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为为常数和babzazzH,))((1)(时域离散信号和系统的频域分析第２章（1）要求系统稳定，确定a和b的取值域。（2）要求系统因果稳定，重复（1）。解：（1）H(z)的极点为a、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。因此，只要满足|a|≠1,|b|≠1即可使系统稳定，或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。（2）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以a和b0≤|a|1,0≤|b|1时域离散信号和系统的频域分析第２章［例2.4.5］,f1=10Hz，f2=25Hz，用理想采样频率Fs=40Hz对其进行采样得到。（1）写出的表达式;（2）对进行频谱分析，写出其傅里叶变换表达式，（3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来，理想滤)π2cos()π2cos()(21tftftx)(ˆtx)(ˆtx)(ˆtx解：)(δ])π2cos()π2[cos()(ˆ21nTtnTfnTftxn时域离散信号和系统的频域分析第２章（2）按照采样定理,的频谱是x(t)频谱的周期延拓，延拓周期为Fs=40Hz，x(t)的频谱为)(ˆtx〕)π2()π2([)]π2()π2([)(2211ffffjX)](ˆ[)(ˆtxFTjX)jj(1nsnXT〕)π2π2()π2π2(δ)π2π2(δ)π2π2(δ[π2211nFfnFfnFfnFfTssssn画出幅度谱如图2.4.1所示。时域离散信号和系统的频域分析第２章图2.4.1时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）观察图2.4.1，要把cos(2πf1t)滤出来，理想低通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间，可选fc＝15Hz。如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在10Hz和25Hz之间，可以把10Hz的信号滤出来，但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓，使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。时域离散信号和系统的频域分析第２章［例2.4.6］对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样，采样间隔T=0.25s，得到，再让通过理想低通滤波器G(jΩ)，G(jΩ)用下式表示:)(ˆtx)(ˆtxπ40π425.0)j(G≤(1)写出的表达式;(2)求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。