一元二次方程根的分布练习和答案及解析

专业整理WORD格式一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理1】01x，02x(两个正根)212124000bacbxxacxxa，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101mmmmmmm0m1。【定理2】01x，02x000421212acxxabxxacb，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性。【例2】若一元二次方程0332kkxkx的两根都是负数，求k的取值范围。（512k或k3）专业整理WORD格式【定理3】210xx0ac【例3】k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？分析：依题意有3kk0=0k3【定理4】○101x，02x0c且0ab；○201x，02x0c且0ab。【例4】若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k－3=0，∴k=3，代入原方程得32x+5x=0，另一根为负。二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理1】21xxkkabkafacb20)(042【定理2】kxx21kabkafacb20)(042。专业整理WORD格式【定理3】21xkx0)(kaf。推论1210xx0ac。推论2211xx0)(cbaa。【定理4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkf【定理5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4推出，请读者自证。【定理6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb专业整理WORD格式三、例题与练习【例5】已知方程02112mxx的两实根都大于1，求m的取值范围。（412912m）（2）若一元二次方程03)1(2xmmx的两个实根都大于-1，求m的取值范围。（6252mm或）（3）若一元二次方程03)1(2xmmx的两实根都小于2，求m的取值范围。（62521mm或）【例6】已知方程032222mmxx有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围。（221221m）（2）已知方程012)2(2mxmx有一实根在0和1之间，求m的取值范围。（3221m）（3）已知方程012)2(2mxmx的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根（不可能；221m）（4）若方程0)2(2kxkx的两实根均在区间（1、1）内，求k的取值范围。（21324k）（5）若方程012)2(2kxkx的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。（3221k）（6）已知关于x的方程062)1(22mmmxxm的两根为、且满足10，求m的取值范围。（73m或72m）【例7】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得专业整理WORD格式65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf∴2165m.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或(这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)练习：1．若方程4(3)20xxmm有两个不相同的实根，求m的取值范围。提示：令2x=t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：0m12．若关于x的方程2lg(20)lg(863)0xxxa有唯一的实根，求实数a的取值范围。提示：原方程等价于2220020863xxxxxa即220012630xxxxa或……①……②令()fx=2x+12x+6a+3(1)若抛物线y=()fx与x轴相切，有△=144－4(6a+3)=0即a=112。将a=112代入式②有x=－6不满足式①，∴a≠112。(2)若抛物线y=()fx与x轴相交，注意到其对称轴为x=－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是(20)0(0)0ff解得163162a。∴当163162a时原方程有唯一解。另法：原方程等价于2x+20x=8x－6a－3(x－20或x0)……③问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x－6a－3与抛物线y=2x+20x(x－20或x0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x+12x+3=－6a(x－20或x0)，再在同一坐标系中分别也作出Oxy－20－6Oxy－20－61633专业整理WORD格式抛物线y=2x+12x+3和直线y=－6a，如图，显然当3－6a≤163即163162a时直线y=－6a与抛物线有且只有一个公共点。3．已知()fx=(x－a)(x－b)－2(ab)，并且，是方程()fx=0的两根()，则实数a，b，、的大小关系是()A、abB、abC、abD、ab4．方程()fx=2axbxc=0(a0)的两个根都大于1的充要条件是()A、△≥0且f(1)0B、f(1)0且－ab2C、△≥0且－ab2，ca1D、△≥0且f(1)0，－ab2。