数学建模电子教材

第一章数学模型概述1.1数学模型概述数学模型的历史可以追朔到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。真正开始提出并研究它是20世纪70年代后，由于它的广泛性与实用性，于是迅速推广开来。大家可能记得，从20世纪80年代起，我国科技界兴起一股不论对什么问题进行研究，都要建立数学模型的风气。从此不论是经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域，数学模型已不再是陌生的名词。在工程领域，电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，以便对控制装置做出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间、空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效的指导临床用药。城市规划者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据。厂长经理们应该能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮藏费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型。就是在平时对大学生的综合素质测评、对教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评、对教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。1.2数学模型概念什么是数学模型？国外曾有人为它下了一个简单的定义：把实际问题中各变量之间的关系用数学形式表示出来，叫数学模型。由于它的广泛性，这样的定义是难以真正理解它的真实含义的。下面举例来说明。1、各种应用题的解过程都是数学模型。小学的数学题可以分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还可以有不同的方法、思路，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有这样一道题：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？用x,y分别表示鸡与兔，可以列出方程x+y=46,2x+4y=128实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解为x=28,y=18,这就是鸡兔同笼问题的答案。2、九大行星的发现过程。太阳系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人类发展的历史长河中，很早就通过观察注意到了金、木、水、火、土五星与其他星不同，中国历史上的“五行”一说也来源于此。在伽利略、哥白尼的太阳中心说确立后，到它们与地球一起是太阳系的行星，不久又发现了天王星，之后就没有单纯依靠观测发现其它行星。微积分发展起来之后，人们开始计算太阳系每颗行星的轨道。科学家发现除了天王星之外，其它行星的理论轨道基本吻合，而天王星相差较大，仿佛受到变化的外力，估计有另外的行星通过万有引力在影响着它的运动。于是根据天王星运动的差异，经过计算确定在天空的某一位置应有一颗行星，这样在确定的区域里去寻找，终于发现了第八颗行星——海王星。后来，有人又用同样方法发行了冥王星。用数学模型的方法找到海王星的事例，是人类最初也是最重要的数学模型应用的范例。3、美国总统竞选的模拟。总统竞选是西方国家政治上的头等大事。早在20世纪30年代美国有人企图用模拟的方法去预测一下评选结果，于是国家出资成立一个专门的预测机构。通过收集资料，设计不同的模拟方法，进行预测。开始没有使用计算机，后来使用计算机，前后预测了十几届的总统选举，都收到非常好的效果。首先选举结果没有预测错，其次票数也基本一致，这里主要是采用模拟模型。4、内燃机。从20世纪80年代初起，国内兴起优化设计的风气，各行各业的设计部门纷纷采用各种方法对自己的设计进行优化。日本在这方面走在前面，各种产品小巧而精致，性能又好。内燃机设计行业首先注意到，内燃机的性能主要由进气过程、排气过程而决定，而两个过程由凸轮来完成，那么凸轮的形状设计自然是内燃机性能的主要决定因素了。但凸轮有许多个，每一条曲线的形状都影响性能，而性能也由许多指标构成。这比n维变量m个目标函数的非线性规划难得多，尽管许多人在这些方面做了大量工作，但是本质的问题——数学模型的建立没有解决。至今仍是应用领域的一个有待解决的实际问题。又有人提出一种方法，排气管里的压力波能充分决定整机的工作性能，经研究这个压力波满足热传导方程，而不同的设计对应着方程中参数a与初始条件、边界条件的改变。反过来确定a与一组初始条件、边界条件也就相当于进行了一个设计。于是采用计算机模拟这个热传导方程的发展过程，在反复调整边界与初始条件在模拟，寻找最优的性能就是一种全新的内燃机优化设计方法。5、冲压过程的有限元模型。冲压是汽车、拖拉机等行业非常重要的加工手段，即板材在压力下加工成型。模具是虫牙行业最重要的设备。成本最高，远超出常人的预想。一套模具在设计、制造出来以后，它的性能已经决定，不能更改。因此模具的设计与制造都是责任很大的工作，技术性要求很高，能否在设计时用计算机模拟一下所设计的模具的工作性能呢？这是当今世界上公认的难题之一。我国年轻学者胡平教授潜心钻研近十年，基本上解决了这一难题，世界上公认他的成果处于首位。他是采用有限元刚度矩阵成功模拟了瞬间的钢板变形，指出危险应力区与具体的应力值，这样反复修改设计、反复模拟，即可得到性能优良的模具设计。6、到处都有数学模型的问题。不是只有那些大型、核心的问题才有数学模型问题。在我们身边到处都是需解决的问题。20年前中央发下的售房的价格通知中，有这样一个公式，根据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出的价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限构成的“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。但是有心人马上能看出公式有毛病；工龄也被折旧了！本来对这样一个简单的公式，只要对大家都公平，没有仔细推敲，也都知道这不是出于数学工作者之手，不必求全责备。可偏偏不是这样，明显看出这种公式对工龄越长、住房越久的人越不公平。从这个问题更看出普及建模能力的必要性。从以上我们可以看出数学建模的威力，它正在渗透在科学研究、工、农业生产、我们日常生活等各方面。那么数学建模的精确定义是什么呢？数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环，如果检验的结果是正确或基本正确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。（1）按照建模所用的数学方法的不同，可分为：人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（3）按照人们对建模机理的了解程度的不同，有所谓的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研究对象比喻为一只箱子里的机关，我们要通过建模过程来揭示它的奥妙。白箱主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多已经建立起来，还需深入研究的主要是针对具体问题的特定目的进行修正与完善，或者是进行优化设计与控制等。灰箱主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很清楚，故称为灰箱模型。在建立和改进模型方面还有不少工作要做。黑箱主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。人们对其在工程技术和现代化管理中，有时会遇到这样一类问题：由于因素众多、关系复杂以及观测困难等原因，人们也常常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处理。应该指出的是，这三者之间并没有严格的界限，而且随着科学技术的发展，情况也是不断变化的。（1）按照模型的表现特性可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包括随机性与模糊性模型；静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；线性模型与非线性模型。1.3建立数学模型的方法与步骤现实世界中的实际问题是多种多样的，而且大多比较复杂，所以建立数学模型需要哪些步骤并没有固定的模式，建立数学模型的方法也是多种多样的。但是建立数学模型的方法和步骤也有一些共性的东西，掌握这些共同的规律，将有助于数学模型的建立。一、数学建模的方法数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：1、机理分析法机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各变量（因素）之间的因果关系，找出反映其内部机理规律的一类方法。建立的模型常有明确的物理或现实意义。使用这种方法的前提是我们对研究对象的机理应有一定的了解，模型也要求具有反映内在特征的物理意义。机理分析要针对具体问题来做，因而没有统一的方法。2、测试分析法测试分析法是一种统计分析法。当我们对研究对象视为一个“黑箱”系统，对系统的输入、输出数据进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析，按照一定准则找出与数据拟合最好的模型。当我们对对象的内部规律基本不清楚，模型也不需要反映内部特征时，就可以用测试分析建立数学模型。测试分析有一套完整的数学方法。3、综合分析法对于某些实际问题，人们常将上述两种建模方法结合起来使用，例如用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数。二、数学建模的基本步骤1、模型准备对原始实际问题进行调查了解，抽象出语言叙述的模型及相应的数据条件等，常称为原始模型。（建模竞赛时常换为问题重述）实际上抽象出原始模型时常常已对模型的进一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪种类型模型等。此步骤注意要将所有搜集到信息表述出来，不得遗漏。2、模型的假设这是非常关键的步骤，不同的假设将导致不同的模型。利用合理的、必要的假设，可简化模型使无法下手的问题易于解决。但过度的简化而得到模型可能无实用价值，舍不得简化又可能导致得到一个无法求解的模型或模型的解非常复杂，以致无法应用。到底简化到什么程度要看问题的性质与建模的目的以及建立模型中的某些需要。这里要提醒注意的是：对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况，而不是为了解决问题的方便。通常做出合理假设的依据一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可是两者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量使问题简化（比如线形化、均匀化等）。经验在这里也常起重要作用有些假设在建模过程中才会发现。因此在建模是要注意调整假设。3、模型的建立根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构，是建立数学模型的第三步。为了完成这项数学模型的主体工作，人们常常需要广阔的应用数学知识，除了微积分、微分方程、线形代数及概率统计等基础知识外，还会用到诸如规划论、排队论、图与网络及对策论等。推而广之，可以说任何一个数字分支都可能应用到建模过程中。当然，这并非是要求你对数学的各个分支都精通，事实上，建模时还有一个原则，即尽量采用简单的数学工具，以便使更多的人了解和使用。当然建模时需要有灵活、清醒的头脑和创造性思维的能力。4、模型的求解根据模型的性质，选择适当方法去解。可能是解析方法，也可是求近似解