＜信号与系统学习指导＞第四章自测题(简解)

＜信号与系统学习指导＞P99第四章自测题4.1确定下列离散时间周期信号的傅里叶级数（1）{}∑∞−∞=−−+−=mmnmnnx]41[2]4[][δδ（2）70,4sin][≤≤=nnnxπ，且x[n]以8为周期。解：(1)该周期信号的周期为4（画出m=0,1即可看得很清楚）方法一：按定义求：∑∑====42ππ2][knjkkNknNjkkeaeanxkjkeenxNakjNnnNjkk2sin212cos21412141][12102ππππ−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==−−=−∑方法二：利用主周期信号的傅里叶级数的关系求解主周期信号为单位脉冲函数，其傅里叶变换为：1][Fn←→δ利用线性性质和时移性质：ωδjFen−←→−2]1[2；2420ππω==}21{41)(1210πωωωkjkjkeeXNa−=+==解：(2)由定义：jeeneaeanxnjnjknjkkNknNjkk24sin][44842πππππ−==−====∑∑故有：k-kjkjelsekak34;1,211,21,0;0≤≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−===4.2周期为N的x[n]的傅里叶级数表示为：∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=NknNjkkeanxπ2][（1）设N为偶数，且满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=2][Nnxnx，对全部n。证明02=ka，k为任意整数。（2）设N可被4除尽，且满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=4][Nnxnx，对全部n。证明04=ka，k为任意整数。证明：（1）将序列][nx表示为，∑−==102][NknNjkkeanxπ，则有，[]∑∑∑−=−=−=+−=−===⎥⎦⎤⎢⎣⎡[phone](22NknNjkkNknNjkjkkNkNnNjkkeanxeeaeaNnxππππ，故有，kjkkaea−=π，即kkkaa−=−)1(，当k为偶数时，有kkaa−=，即0=ka。（2）将序列][nx表示为，∑−==102][NknNjkkeanxπ，则有，[]∑∑∑−=−=−=+−=−===⎥⎦⎤⎢⎣⎡[phone](24NknNjkkNknNjkkjkNkNnNjkkeanxeeaeaNnxππππ，故有，kkjkaea−=2π，由题意N可被4除尽，即kkkaa−=−2)1(，k为任意整数故有kkaa−=，即0=ka。4.3x[n]是一个周期为N的实周期信号，其傅里叶级数系数为ak，其直角坐标表示式为kkkjcba+=。（1）将傅里叶级数表示成三角函数形式；（2）已知两个周期都为N的周期信号：kkkFsjcbanx+=←→][kkkFsjfednz+=←→][如另一周期为N的信号y[n]:kkkFscjebny2][+−←→，试用x[n]和z[n]表示y[n]。解：(1)当N为奇数：∑−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21102sin2cos2][NkkkNnkcNnkbanxππ当N为偶数时∑−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=121202sin2cos2)1(][NkkknNNnkcNnkbaanxππ(2)kkkFsjcbanx+=←→][;kkkFsjfednz+=←→][因为实周期信号傅里叶级数的共轭特性：kFsokFsejcnxbnx←→←→][;][kkkFscjebny2][+−←→;所以有：kkkFsoeecjebnxnznxny2][2][][][+−←→+−=4.4求下列信号的离散时间傅里叶变换（1）]2[21−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛nun；（2）2sin[1]4nnunπ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠；（3）nan)1(+；（4）25sin⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnππ解：(1)因为1,11][−⎯→←−aaenuajFnω，时移性质)(][ωω00jnjFeXennx−⎯→←−所以，令ωjFnenunx−−⎯→←⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2111][21][ωωjjFneenunx−−−−⋅⎯→←−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−21141]2[2121]2[222（2）44442[1]2sin[1]2[1]()422jnjnnjnjnnneejunnununeejπππππ−−−⋅⋅−−⎛⎞−−=⋅⋅−−=⋅−⎜⎟⎝⎠∵方法一：按定义求121121111212][)(011−=−−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===−∞=−−∞=−+∞−∞=−∑∑∑ωωωωωωjjnnjnnnjnnnjjeeeeenxeX由线性性质与频移性质：}121121{2))((2)()4()4(441−−−⋅=−⋅=−−+−−πωπωππωωjjnjnjjjeejeeeXjeX方法二：利用性质利用时间反转性质：11112[][1]11121122jnFjjexnuneeωωω−−−⎛⎞−=−←⎯→−=⎜⎟⎝⎠−−1112[]2[1]12112jnFjjexnuneeωωω−=−−←⎯→=−−再由频移性质得到与上相同的结果。（3）nnnanaan+=+)1(由定义可求得：222210cos2111111111aaaaaeaeaaeaeeaeaajjjjnnjnnnjnFn+−−=+−−−=−−+−=+⎯→←−−−−∞=−∞=−∑∑ωωωωωωω利用频域微分性质，得22222)cos21(sin)1(2}cos211{aaaajdaaadjnaFn+−−−=+−−⎯→←ωωωω222222222)cos21()]sin(cos21)[1()cos21(sin)1(2cos211)1(aajaaaaaaajaaaanFn+−+−+−=+−−−+−−⎯→←+ωωωωωω（4）25sin⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnππ利用调制（相乘）性质，得到周期卷积参见PPT4－3，P16－184.5求下列频谱的反变换。（1）ωωωsinsin)(2jeXj+=；（2）ωωωω2814315.01)(jjjjeeeeX−−−++−=；（3）1,)1()(2−=−−aaeeeXjjjωωω；(4)πωπωω≤−=−,)(23jjeeX解：（1）利用三角公式与欧拉公式先处理频谱2421222cos1sinsin)(222ωωωωωωωωωωjjjjjjjeeeejeejjeX−−−−++−=−+−=+=利用时移性质求反变换：1][Fn←→δ]}2[21]2[21]1[]1[][{21][−−+−−−++=nnnnnnxδδδδδ（2）ωωωωωωjjjjjjeeeeeeX−−−−−+−+=++−=41132114814315.01)(2][}413214{][nunxnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=(3)1,)1()(2−=−−aaeeeXjjjωωω利用频域微分性质][]1[][1)1()(121nxnunanunaaaeeeXnnFjjj=−=⋅←→−=−−−−ωωω(因为n=0,x[n]=0)(4)πωπωω≤−=−,)(23jjeeX因为对于π≤W0，有这里W＝π，利用时移性质：][)23()23sin()(123nxnneeXFjj=−−←→=−−ππωω4.6某实数信号x[n]，其傅里叶变换为X(ejω)，且满足以下条件（1）x[n]=0,n0;(2)ReX(ejω)=cosω+cos2ω.试求x[n]。解：2421222cos1coscos)(Re222ωωωωωωωωωωjjjjjjjeeeeeeeX−−−++++=+++=+=由题意可得信号的偶部xe[n]的傅里叶变换为]}2[21]2[21]1[]1[][{21][−+++−+++=nnnnnnxeδδδδδ因为条件（1）x[n]=0,n0;结合2][][][nxnxnxe−+=，可推得]2[41]1[21][21][−+−+=nnnnxδδδ4.7已知某一二阶因果离散时间LTI系统的频率响应为)211)(311()(ωωωωjjjjeeeeH−−−−−=求（1）系统的单位样值响应h[n]；（2）系统对输入信号21)1(][+−=nnx的响应。2)1()(][ωωωωjjjFnaeaededXjnuna−−−=⎯→←ωααjFnenu−−⎯→←11][⎩⎨⎧≤≤≤≤⎯→←πωωπWWnWnF,00,1sin解：（1）)211(6)311(6)211)(311()(ωωωωωωjjjjjjeeeeeeH−−−−−−+−−=−−=故取反变换后得系统的单位样值响应：][}3121{6][nunhnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=（2）因为输入221)1(][0eenxnjn+=+−=π；故可由特征值的概念来求输出响应。4)1(23})]1(211)][1(311[)1)(1()211)(311(1{2121)1()211)(311(][)(][00nnnjjjjeeenxeHny−+=−−−−−−+−−⋅=+−⋅−−=⋅===−−−==πωωωωωπωωω4.8某因果LTI离散时间系统,其差分方程为]1[][]1[21][−−=−−nxnxnyny(1)求系统的频率响应H(ejω)和冲激响应h[n]；(2)求系统对输入信号]1[21][][−−=nnnxδδ的响应；解：（1）对方程两边同时取傅里叶变换，得)211(211)211(1)()()(ωωωωωωωjjjjjjzsjeeeeeXeYeH−−−−−⋅−=−−==冲激响应h[n]即为上式的傅里叶反变换][21][][nunnhn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=δ(2)]1[21][][−−=nnnxδδ，ωωjjeeX−−=211)(ωωωωωωωjjjjjjjzseeeeeXeHeY−−−−−=−⋅−−==1)211()211(1)()()(取反变换：]1[][][−−=nnnyδδ4.9某因果LTI离散时间系统对输入信号1cos][+=nnxπ的响应为21cos3][+=nnyπ，若系统差分方程为][]2[]1[][nxnbynayny=−+−+，试（1）求a,b值；（2）判断系统中否稳定。解：由已知的系统方程，得ωωωωω211)()()(jjjjzsjbeaeeXeYeH−−++==由特征函数与特征值的概念nnzzHnyz⋅=→)(][(1)21cos3][1cos][+=→+=nnynnxππ∵babaHnnyn+−=−⋅+−⋅+==−⋅−==11)1()1(113)1()1(cos3][21πbaHnyn++=⋅==11)1()0(21][2联立上述2个方程，解得61=a；65=b（2）将a、b代入频率响应)211()311()211)(311(165611111)()()(22ωωωωωωωωωωωjjjjjjjjjjzsjeBeAeeeebeaeeXeYeH−−−−−−−−+++=++=++=++==取其反变换可得（上式中的A、B可以不具体求出）：][}2131{][nuBAnhnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=由上知，h[n]绝对可和，即∞∑∞−∞=nnh][，所以系统是稳定的。4.10设某一因果LTI离散时间系统]1[41][]2[61]1[65][−−=−+−−nxnxnynyny试（1）求系统的模拟框图；（2）求系统对∑∞−∞=−=kknnx]2[2][δ的响应。解：（1）系统的模拟框图此略。（2）周期信号激励下的系统响应，假设某稳定的离散LTI系统的频率响应为H(ejω)，输入周期信号x[n]的傅里叶级数展开式为NeanxNknjkkπωω2,][00==∑=系统对该周期信号激励的系统响应为NeeHanyNknjkjkkπωωω2,)(][000==∑=即输出y[n]也为相同基波的周期信号。对∑∞−∞=−=kknnx]2[2][δ,周期N＝222102011[](2)12NjknjkNknaxneeNππ−−−====∑nNknjkkeanx)1(1][0−+==∑=ω由系统方程：]1[41][]2[61]1[65][−−=−+−−nxnxnynyny可得：)61651(411)()()(2ωωωωωωjjjjjzsjeeeeXeYeH−−−+−−==由于输入x