高数夹逼准则与两个重要极限

第五节夹逼准则与两个重要极限一、夹逼准则二、两个重要极限,tanlim0xxxxxxx2)23(lim利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如极限值各是多少？如何求解？一、夹逼准则(1)ynxnzn,(n=1,2,3…)；准则I如果数列{xn},{yn},{zn}满足则数列{xn}的极限存在,且,lim,lim)2(azaynnnn.limaxnn(或|x|M)时,有准则I如果当则有f(x)A(xx0或x)（1）g(x)f(x)h(x)(2)g(x)A,h(x)A(xx0或x),,0xUxo).12111(lim222nnnnn11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2122111lim1limnnnnn1.1)12111(lim222nnnnn例1求解因为又由夹逼准则得xxxsinlim000sin00?二、两个重要极限12x0sin(1)lim1.xxx证sin()sin,xxxx因为故只讨论x0+的情形.如图,在单位圆中,AOB=x,BD=sinx,AC=tanx,因为SAOBS扇形AOBSAOC,所以1sin2x11,sincosxxxsincos1,xxx由夹逼准则,得0sinlim1.xxx1tan,2x解xkxxsinlim0xkxkkxsinlim0kxkxkxsinlim0k例3求例4求.tanlim0xxx解00tansin1limlimcosxxxxxxx111.解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1例5.求例6.求解:令,arctanxt则,tantx因此原式ttttanlim01tttan例7求解201coslim.xxx220sin1112lim1.2222xxx例3—例7可以作为公式使用.1sinlim0xxx1)()(sinlim0)(xxx.在使用公式通过这些例子可以看到，时，有三处必须一致，公式的一般形式为220202sin2limcos1limxxxxxxxxx1sinlim原式1例8.求23例9.求解:解:原式1lim1.xxex（2）x,1)11(xx1tx1x0tettt10)1(lim这是一个非常重要的极限.当时，底数指数，称为型极限.若令，则时，，可以得到此极限的另一个等价形式.此极限我们不予证明，从函数的图形中可以看出此极限存在。t3ytty1)1(0t左右两侧附近计算出一些点的对应函数值列表观察函数极限值。我们在t0t0-0.54.000000.52.25000-0.12.867970.12.25374-0.012.732000.012.70481-0.0012.719640.0012.71692-0.00012.718420.00012.71815-0.000012.718300.000012.71827-0.0000012.718280.0000012.718280t71828.2)1(1tt71828.2eettt10)1(limexxx)11(lim从表中可以看出，当时，可以证明这个极限是无理数，将其记作e，.这样就有或例11求解.11limxxx111lim1lim1xxxxxx例12求解.1limbxxxa.1lim1limababaxxbxxexaxa11.ee例13求解.11limxxxx11121lim11limxxxxxxx121lim121lim1xxxxx121lim121lim221xxxxx221ee例14求解:原式=nnne22lim2e1例16已知求c。解:原式=ce44lnc作业P541(2),(4),(6),(8),(10);2(1),(2),(3),(4),(7).例15求解:原式=1