西南大学19秋[0346]《初等数论》作业答案

概念解释题一、简答题1.判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。2.94536是否是9的倍数，为什么？3.写出模6的最小非负完全剩余系。4.叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。5.叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。6.2358是否是3的倍数，为什么？二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答案：1.30是合数，其标准分解式为30=2×3×52.94536是9的倍数，因为9+4+5+3+6=27是9的倍数3.模6的最小非负完全剩余系为0,1,2,3，4,5。4.一个大于1的证书，如果他的正因数只有1和他的本身，就叫着质数。小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13,17.5.0,1,2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。6.2358是3的倍数。因为一个整数能被3整除的冲要条件是他的各个位数的数字和为3的倍数，而2+3+5+8=18,18是3的倍数，所有2358是3的倍数。二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。解：结论：二元一次不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是(,)|abc。证ax+by=c有整数解，设为00,xy，则00axbyc但(,)|aba，(,)|abb，因而(,)|abc，必要性得证。反之，若(,)|abc，则1(,)ccab，1c为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s，t满足下列等式(,)asbtab于是111()()(,)ascbtccabc。令0101xsctc，y，则00axbyc，故00,xy为ax+by=c的整数解，从而ax+by=c有整数解。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。答：同余的一条性质：整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt，t是整数。证明如下：设11rmqa，22rmqb，10r，mr2。若a≡b（modm），则21rr，因此)(21qqmba，即m｜a－b。反之，若m｜a－b，则)()(|2121rrqqmm，因此21|rrm，但mrr21，故21rr，即a≡b（modm）。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答：若a，b是两个整数，其中b0，则存在两个整数q及r，使得a=bq+r，br0成立，而且q及r是唯一的。下面给出证明：…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a(q+1)b成立。令a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而br0。设11rq，是满足（2）的另两个整数，则11rbqa，br10所以rbqrbq11，于是11)(rrqqb，故11rrqqb。由于r，1r都是小于b的正整数或零，故brr1。如果qq1，则bqqb1，这是一个矛盾。因此qq1，从而rr1。