最新数学分析知识点最全汇总

1第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质21、实数(,qpqp有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.．|Rxx一一一--一一一一一一一[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中012.,nxaaaaL，记；009,1,2,,,0,inainaaL为非负整数011.(1)9999nnxaaaaLL对于正整数则记；对于负有限小数（包括0,xa0(1).9999xaL负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加yy负号．0表示为0＝0.0000L例：；2.0012.0009999L利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数，.其01.nxaaaLL01.nybbbLL中为非负整数，为整数，．若有00,ab,kkab(1,2,)kL09,09kkab32.99992.0012.00999932.9999LLL；；3，则称与相等，记为；若或存在非负,0,1,2,kkabkLxyxy00ab整数，使得，而，则称大于或小于l,0,1,2,,kkabklL11llabxyy，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有xxyyxxy或，则分别称为与（或）．xyxyxyxyyx规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称01.nxaaaLL有理数为实数的位不足近似；称为实数01.nnxaaaLxn110nnnxx的位过剩近似，.xn0,1,2,nL对于负实数，其位不足近似；01.nxaaaLLn011.10nnnxaaaL位过剩近似.n01.nnxaaaL注：实数的不足近似当增大时不减，即有；xnxn012xxxL过剩近似当n增大时不增，即有．nx012xxxL命题：记，为两个实数，则的等01.nxaaaLL01.nybbbLLxy价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，nnxynxxn为的位过剩近似）．nyyn命题应用例1．设为实数，，证明存在有理数，满,xyxyr足．xry证明：由，知：存在非负整数n，使得．令xynnxy，则r为有理数，且12nnrxy．即．nnxxryyxry43、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．289302PP1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两R,,,个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也,abR,,ababab只居其一.3）传递性：，．abcR，，,abbcac若，则4）阿基米德性：使得．,,0abRbanNnab5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．R例2．设，证明：若对任何正数，有，,abRab则．ab（提示：反证法．利用“有序性”，取）ab二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为．a,0||0aaaaa2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示a||aa||xa就是数轴上点与之间的距离．xa3、性质1）（非负性）；||||0;||00aaaa2）；||||aaa53），；||ahhah||.(0)ahhahh4）对任何有（三角不等式）；,abR||||||||||ababab5）；||||||abab6）（）．||||aabb0b三、几个重要不等式1、,222abba.1sinx.sinxx2、均值不等式:对记,,,,21RnaaaL(算术平均值),1)(121niiniannaaaaML(几何平均值),)(1121nniinniaaaaaGL(调和平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaHL有平均值不等式:即：),()()(iiiaMaGaH121212111nnnnaaanaaanaaaLLL等号当且仅当时成立.naaaL213、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式,1x(1)1,.nxnxnN当且,且时,有严格不等式1x0xNn2n.1)1(nxxn证：由且01x111)1(1)1(,01Lnnxnxx).1()1(xnxnnn.1)1(nxxn4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式,0h6,!3)2)(1(!2)1(1)1(32nnhhnnnhnnnhhL有上式右端任何一项.nh)1(［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.一实数及其性质二绝对值与不等式[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一7下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2)xR|1||2|1xx.|1||2||3|2xxx（）111(2)12,121xxxxxQ（）（）2121,231,232.xxxxxx（）三式相加化简即可2、证明：.||||||xyxy3、设，证明：若对任何正数有，则.,abRabab4、设，证明：存在有理数满足.,,xyRxyryrx[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）8设且.，其中,abRab有限区间区间无限区间|(,)|[,]|[,)|(,]xRaxbabxRaxbabxRaxbabxRaxbab开区间:闭区间:有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:|[,).|(,].|(,).|(,).|.xRxaaxRxaaxRxaaxRxaaxRxR无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区a域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？a（1）的邻域：设，满足不等式的全体实a,0aR||xa数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即xa(;)Ua()Ua.(;)||(,)Uaxxaaa其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点的空心邻域a.(;)0||(,)(,)()ooUaxxaaaaaUa@（3）的右邻域和点的空心右邻域aa00(;)[,)();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa@@（4）点的左邻域和点的空心左邻域aa900(;)(,]();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa@@（5）邻域，邻域，邻域（其中M为充分大的正数）；()||,UxxM(),UxxM()UxxM二、有界集与无界集1、定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数SR，使得一切都有，则称S为有上（下）界()MLxS()xMxL的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又()ML有下界，则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，,abbaba,(),(集合也是有界数集.),(,sinxxyyE若数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集,),0(,)0,(,),(集合也是无界数集.)1,0(,1xxyyE注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集的有界性.|Nnn为正整数解：任取，显然有，所以有下界1；0nN01nN但无上界.因为假设有上界M,则M0，按定义，对任意NN10，都有，这是不可能的，如取0nN0nM则，且.0[]1nMMM（符号表示不超过的最大整数），0nN0nM综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.N例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对一切有（即是S的上界）;(2)对任何，存在,xSx，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集0xS0xS的上确界，记作sup.S从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1充要条件supME1）；,xExM2）.00,,oxSxM使得证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与M是上界中最小的一个矛盾.00,,oxExM使得均有充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即是上界，但0M.令，由2），，使得，与0MM00MM0xE00xMM是E的上界矛盾.0M定义3（下确界）设S是R中的一个数集，