FINTS第二章时间序列数据的回归模型

金融时间序列模型第二章：时间序列数据的回归模型金融时间序列模型回归模型回顾回归模型回归简单的说描述一个变量如何随其它变量的变化而变化。y表示需要解释的变量x1,x2,...,xk表示k个解释变量线性回归模型表达式：当使用时间序列数据时的习惯表达式：Niuxxcyikikii,...2,1,...11Tiuxxytktktt,...2,1,...110回归模型y和x的不同名称:yxdependent因变量independent自变量regressand（回归因变量）regressors（回归自变量）effectvariable（效果变量）causalvariables（原因变量）0，1，…，k被称为系数（coefficients)ut随机扰动项(或称误差项）(randomdisturbanceterm)回归模型总体回归函数0，1，…，k被称为总体参数或真实值总体回归函数是因变量的条件期望Ttxxktkt,...2,1,...110ktktkttttxxxxxyE...),...,|(11021回归模型具体的说：线性回归模型中“回归模型”的含义是该模型的目的是计算因变量相对于自变量的条件期望，“线性”的含义是假设因变量的条件期望是解释变量的线性函数。回归模型样本回归函数拟和值fittedvalue：残差residual：Ttxxktkt,...2,1,ˆ...ˆˆ110ktktttxxyˆ...ˆˆˆ110tttyyuˆˆ下面表达式哪些正确？tttttttttttttttttuxyxyuxyuxyuxyuxyˆˆ)6(ˆ)5(ˆˆˆˆ)4(ˆˆˆ)3(ˆˆ)2()1(多元线性回归模型回归模型的矩阵表达式：Y=X+UTkkTTkTuuxxxxyyy1011112111回归模型普通最小二乘法估计结果：估计式（estimator或估计量）:计算系数的公式估计值(estimate)：把样本观测值带入估计式中计算得到的系数的数值。隐含着解释变量不存在完全多重共线性YXXX')'(ˆ1拟和优度和调整后拟和优度)]1(1[1)ˆ(111)()ˆ(2222222RkTTRTSSyyTSSuTSSRSSyyyyTSSESSRttttt拟和优度拟和优度是因变量拟和值和真实值的相关系数的平方。拟和优度是模型的变差能被模型解释的部分。拟和优度高并不能说明模型好，一个低的拟和优度并不说明模型不好。时间序列数据的拟和优度一般都比较高。回归模型满足经典假设条件时，OLS估计量满足无偏性有效性服从正态分布))'(,(~ˆ21uXXN金融时间序列模型时间序列数据回归模型需要满足的假设条件金融时间序列数据时间序列数据：某个变量按时间顺序等间隔排列的数字。用yt表示变量Y在t时刻的观测值。经常使用的金融变量包括:股票指数，债券收益率，期权，期货远期等资产的价格。t时刻与t+1时刻之间的时间长度一般是一年，一个季度，一个月等等，因此称数据有不同的频率，把不同频率的数据称为年度数据，季度数据，月度数据，周数据，日数据等。时间序列数据要求时间间隔是相等的。观测值的总数也称为样本容量，用T表示。基本概念随机过程stochasticprocess设T是某个集合，俗称足标集，对任意固定tT，Yt是随机变量，tT的全体{Yt；tT}称为T上的随机函数。记为{Yt}对每个固定的t，Yt是随机变量。通常T取为：1）T=[-,],T=[0,]2)T=…-2,-1,0,1,2,…T=1,2,3,…基本概念随机过程的样本Sample或实现Realization对t时刻的随机变量Yt，假设有一个样本是yt，当t在下标集合T中取遍时，得到随机过程的一个样本，例如：Y1,Y2,Y3,…Yn,y11,y12,y13,…y1ny21,y22,y23,…y2n随机过程的样本记为{yt}随机过程基本概念Yt－1称为一阶滞后变量，这个变量t时刻的取值等于变量Yt在t-1时刻的值。Yt－j称为j阶滞后变量，这个变量t时刻的取值等于变量Yt在t-j时刻的值。Yt–Yt－1称为一阶差分，用Yt表示滞后变量与一阶差分datetytyt-1yt1999：0910.8--1999：1021.30.81.3-0.8=0.51999：113-0.91.3-0.9-1.3=-2.21999：1240.2-0.90.2--0.9=1.12000：015-1.70.2-1.7-0.2=-1.92000：0262.3-1.72.3--1.7=4.02000：0370.12.30.1-2.3=-2.22000：0480.00.10.0-0.1=-0.1............基本概念随机过程的参数均值函数meanfunction：每个时刻的随机变量求均值得到的均值序列{t}自协方差函数autocovariancefunction：任意两个时刻变量间的自协方差构成自协方差函数{st}自相关函数autocorrelationfunction：任意两个时刻变量间的自相关系数构成自相关函数{st}基本概念平稳随机过程（weaklystationary,covariancestationary,secondorderstationary）如果随机过程二阶矩有界，并且满足以下条件（1）对任意整数t，E(Yt)=，为常数；（2）对任意整数t和s，自协方差函数ts仅与t-s有关，同个别时刻t和s无关。即ts=t-s=k白噪声过程whitenoiseprocess随机过程满足1）E(t)=0，对所有t2）E(t2)=2对所有t3）E(ts)=0,对任意ts，或Cov(t,s)=0弱白噪声随机过程（Weaklywhitenoiseprocess），简称白噪声。记为{t}~WN(0,2)白噪声过程4）不同时刻随机变量是相互独立的随机变量，并且同分布称为独立白噪声，记为{t}~I.I.D.(0,2)如果再增加一个条件5）服从正态分布该过程为高斯白噪声（Gaussianwhitenoiseprocess）。回归模型经典线性回归模型假设条件假设解释变量是随机变量并且从建立模型的角度表述：对于i=1,2,…N假设A1假设A2假设A3解释变量间不存在完全多重共线性假设A4假设A5ikikiiuxxcy...110),...,,|(21NiXXXuE21),...|var(NiXXu0),...|,cov(1NjiXXuu),0(~,...|21NXXuNi)('21kiiiixxxX回归模型假设A2被称为严外生条件，表示t时刻的误差项与所有的观测，不管t时刻前还是t时刻后都无关。即误差项与解释变量是相互独立的。增加关于数据生成过程的假设。（datageneratingprocess)假设B1:假设B2:假设B3:解释变量间不存在完全多重共线性假设B4:假设B5：时间序列数据的特征是存在自相关，所以对于时间序列数据假设B1不成立。这些假设条件只适合截面数据简单随机抽样的情况。2)|var(iiXu.)..(),...2,1)(,...,(1diiNixxykiii是独立同分布的)(',0)|(21kiiiiiixxxXXuE),0(~|2NXuiiikikiiuxxcy...11时间序列数据假设条件假设C1：是平稳过程，并且满足遍历性（遍历性：即随着j的增大与相互独立假设C2:假设C3：解释变量间不存在完全多重共线性假设C4:假设C5：),...,(1ktttxxy),...,(1ktttxxy),...,(1jktjtjtxxy0)|(ttXuEtktkttuxxcy...112)|var(ttXu0),|,cov(ststXXuu),0(~|2NXuttDynamicallycompletemodel动态完全模型假设D1：是平稳过程，并且满足遍历性（遍历性：即随着j的增大与相互独立假设D2:假设D3：解释变量间不存在完全多重共线性假设D4:假设D5：目的是预测时，模型满足dynamicallycompletemodel条件。否则说明模型是错误的。),...,(1ktttxxy),...,(1ktttxxy),...,(1jktjtjtxxy0,...),...,,|(11ttttyXXuEtktkttuxxcy...112)|var(ttXu),0(~|2NXutt金融时间序列模型动态模型时间序列数据回归模型静态模型分布滞后模型自回归分布滞后模型(1),...2,1,...11Ttuxxcytktktt(2)...110tktktttuxxxcy(3)221101ttttttuxxxycytttuxcy分布滞后模型系数的解释j，j=0,1,…k被称为乘数，或冲击效应。0被称为短期乘数或即期乘数，表示当期的冲击效应。含义是解释变量存在暂时变化时，对因变量的影响。暂时变化的含义：假设解释变量x在时刻t前是m，时刻t突然增加一个单位m+1，时刻t后，例如t+1，t+2…又变回m。t，t+1，t+2…因变量的变化。分布滞后模型系数的解释0+1+…+h被称为h期累积乘数，h是1到k-1之间的数值，表示h期中解释变量x的变化对因变量y的累积效应＝0+1+…+k被称为长期乘数，表示x对因变量在所有时期冲击效应的总和累积效应的含义是解释变量发生永久变化时，对因变量的影响。分布滞后模型系数的解释i/，i=0,1,2,…k被称为标准化的乘数。表示解释变量改变一个单位后，在t+i期时，冲击效应占总效应的百分比。分布滞后模型系数的解释例如0=0.5，1=0.2，2=0.1。长期乘数＝0.5+0.2+0.1=0.8，计算标准乘数分别是0.5/0.8=0.6250.2/0.8=0.250.1/0.8=0.125表示总效应中62.5%的效应立刻显现出来，经过1个周期后87.5％的效应显现出来，经过2个周期冲击效应达到100％自回归分布滞后模型系数的解释，以（3）为例解释变量对因变量的直接影响：0+1+2解释变量对因变量的总的影响，称为长期乘数：（0+1+2）/(1-)t-1时期解释变量影响t-1时期的因变量，因为yt-1对yt有影响，所以t-1时期的解释变量对yt有间接的影响，直接影响＋间接影响＝长期乘数自回归分布滞后模型的长期解以下面模型为例：令每个时期的yt取值都是y，每个时期的xt取值都是x，随机误差项等于0：合并同类项，整理得：210xxxycy221101ttttttuxxxycyxxcy1-1cy)()1(210210GRANGER因果检验检验x是否对y有预测作用，估计下面的回归模型：进行F－检验：z是对y有影响的其它解释变量。tmtmtqtqtptptttuzzxxyyycy.........111122110...:210qH例1：对CAPM模型进行检验市场均衡时，单个资产预期的收益率应该等于多少？CAPM模型给出单个资产收益率与市场收益率的关系])([)(fMjfjrRErRECAPM1.任何资产的预期收益率由市场超额收益率和该资产的beta决定。不同资产收益率之所以不相同是因为beta不