二次函数综合训练题

第1页二次函数综合训练题一．选择题（共6小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．3．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1B．2C．3D．4第2页5．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．15B．18C．21D．246．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A．k＜nB．h=mC．k+n=0D．h＜0，m＞0二．填空题（共5小题）7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，过抛物线上两点的直线AB平行于x轴，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为．9．在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…012345…y…830﹣103…若点A（﹣1，m），B（6，n），则mn．（选填“＞”、“＜”或“=”）10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交第3页AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为．11．抛物线y=x2+2mx+（m＜0）的顶点为P，抛物线与x轴的交点为A、B，当△PAB是等边三角形时，m的值为．三．解答题（共4小题）12．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a=，当m=3时，a=；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．第4页14．如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=，b=；当m=﹣2，n=3时，k=，b=；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m=，n=．第5页15．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．第6页参考答案一．选择题（共6小题）1．（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，第7页∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C．2．（2017•南宁）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，第8页∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故选D．3．（2017•凉山州一模）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：A、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b＞0，二次函数y=ax2+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故错误，不符合题意；B、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b0，二次函数y=ax2+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故正确，符合题意；C、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b＜0，二次函数y=ax2+bx（a≠0）中a＜0，b＞0，故错误，不符合题意；D、一次函数y=ax+b（a≠0）中a＞0，b=0，二次函数y=ax2+bx（a≠0）中a＞0，b＜0，故错误，不符合题意；故选B．4．（2017•于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）第9页A．1B．2C．3D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2，=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，AC有最小值2，即对角线BD的最小值为2．故选B．5．（2017•昆都仑区二模）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．15B．18C．21D．24解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC的周长=3×6=18．故选B．6．（2017•吉安模拟）图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A．k＜nB．h=mC．k+n=0D．h＜0，m＞0解：∵两条抛物线具有相同的最小值，第10页∴k=n，∵顶点分别位于三和四象限，∴h＜0，m＞0，故选D．二．填空题（共5小题）7．（2017•石城县一模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，过抛物线上两点的直线AB平行于x轴，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为（2，）．解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线，∴抛物线的对称轴为x=1，∵直线AB与x轴平行，∴点A和点B关于直线x=1对称，∴B点坐标为（2，）．故答案为（2，）．8．（2017•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为20．解：抛物线的对称轴为x=﹣=．第11页∵抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，∴点C的横坐标为﹣5．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=5，∴点D的坐标为（﹣2，0），OA=3．在Rt△ABC中，AB=5，OA=3，∴OB==4，∴S菱形ABCD=AD•OB=5×4=20．故答案为：20．9．（2017•长春模拟）在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…012345…y…830﹣103…若点A（﹣1，m），B（6，n），则m＞n．（选填“＞”、“＜”或“=”）解：由表格中数据可得，抛物线的对称轴为：直线x=3，由a=1，可得抛物线开口向上，∵3﹣（﹣1）=4，6﹣3=3，∴B点距离对称轴距离近，∴m＞n．故答案为：＞．10．（2017•吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为4．解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，第12页∴顶点A（2，4），∵AC⊥x、AD⊥y轴，∴AD=OC=2、AC=4，令y=0，得：﹣x2+4x=0，解得：x=0或x=4，则OB=4，∴BC=OB﹣OC=2，∴AD=BC=2，则S△ADE+S△BCE=•AD•AE+•BC•CE=•AD•（AE+CE）=•AD•AC=×2×4=4，故答案为：4．11．（2017•贵港二模）抛物线y=x2+2mx+（m＜0）的顶点为P，抛物线与x轴的交点为A、B，当△PAB是等边三角形时，m的值为．解：令y=0代入y=x2+2mx+，∴x2+2mx+=0，∴x=﹣m+m或x=﹣m﹣m，（m＜0）∴AB=﹣m抛物线的对称轴为x=﹣m，∴令x=﹣m，∴y=m2﹣2m2+=﹣∴点P到x轴的距离为：m2，∴m2=﹣m，第13页∴m=﹣，故答案为：三．解答题（共4小题）12．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；第14页（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=1＞0，∴当m=﹣=时，d最大===，∴D点的坐标为（，﹣）．13．（2016•吉林）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为a=﹣；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．解：（1）如图1，第15页∵点B在x轴