第七章-平稳时间序列模型预测

上海财经大学统计学系1平稳时间序列模型预测•设平稳时间序列是一个ARMA(p,q)过程，即•本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值，我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值进行预测，记为，称为时间序列的第步预测值。tX11112,~0,,,0ttptpttqtqtstXXXWNstEX12,,,tttxxxtlx0lˆtxltXl上海财经大学统计学系2§7.1最小均方误差预测•考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值与真值的均方误差达到最小，即设预测值与真值的均方误差我们的工作就是寻找，使上式达到最小。•下面我们证明最小均方误差预测就是ˆtxltlxˆttltelXxlˆtxltlx22ˆttltEelEXxlˆtxl1,,tlttEXXX上海财经大学统计学系3条件无偏均方误差最小预测设随机序列，满足，则•如果随机变量使得达到最小值，则•如果随机变量使得达到最小值，则12,,XX2,ttEXEX1,,nfXX2111,,,,nnnEXfXXXX111,,,,nnnfXXEXXX1,,nfXX211,,nnEXfXX111,,,,nnnfXXEXXX上海财经大学统计学系4•因为可以看作为当前样本和历史样本的函数，根据上述结论，我们得到，当时，使得达到最小。•对于ARMA模型，下列等式成立：ˆtxl1,,ttXX1ˆ,,ttlttxlEXXX22ˆttltEelEXxl1,,,kttkEXXXxkt1ˆ,,,0tltttEXXXxll1,,,kttkEXXkt1,,0,kttEXXkt上海财经大学统计学系5ARMA模型的预测方差和预测区间•如果ARMA模型满足因果性，则有•所以，预测误差为0tttjtjjBXGBBG00ˆttltjtljljtjjjelXxlGG01111tltlltGGG0tEel222222011ˆvartttltlEelelEXxlGGG上海财经大学统计学系6•由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是当前样本和历史样本已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长有关，而与预测起始点t无关。当预测步长的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。2112var,,,,ˆvartltttltltttlttXXXEXEXXXEXxlel2222011lGGGˆtxltlXtX1,,ttXXlll上海财经大学统计学系7•进一步地，在正态分布假定下，有•由此可以得到预测值的95%的置信区间为或者22221011ˆ,,~,tltttlXXXNxlGGGtlXˆˆ1.96var,1.96varttttxlelxlel1212222222011011ˆˆ1.96,1.96tltlxlGGGxlGGG上海财经大学统计学系8§7.2对AR模型的预测•首先考虑AR(1)模型当时，即当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测1tltltlXX1l1111ˆ1,,,,tttttttttxEXXXEXXXx1ll111ˆˆ,,,,1lttltttltlttttxlEXXXEXXXxlx上海财经大学统计学系9•对于AR(p)模型当时，当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测11tltlptlptlXXX1l1111111ˆ1,,,,tttttptptltttptpxEXXXEXXXXxx1111ˆ,,,,ttltttlptlptlttxlEXXXEXXXXlpl1ˆˆ1tptxlxlp上海财经大学统计学系10例7.1•设平稳时间序列来自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信区间。解：tX121.10.3ttttXXX254550.8,1.2,1.21xx55ˆ1x55ˆ2x5556555455545655545554ˆ1,,1.10.3,,1.10.31.11.20.30.81.08xEXXXEXXXXxx上海财经大学统计学系11•根据第三章，可以计算模型的格林函数为•所以的95%的置信区间为（－1.076，3.236）的95%的置信区间为（－2.296，3.952）5557555456555755545555ˆ2,,1.10.3,,ˆ1.110.31.11.080.31.20.828xEXXXEXXXXxx01101,1.1GGG56X57X上海财经大学统计学系12例7.2•已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。12100.60.3,~0,36tttttXXXN上海财经大学统计学系13•求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为3432132432132ˆ1,,100.60.3,,100.60.397.2xEXXXXEXXXXXxx3532143532133ˆ2,,100.60.3,,ˆ100.610.397.432xEXXXXEXXXXXxx3632154632133ˆ3,,100.60.3,,ˆˆ100.620.3197.5952xEXXXXEXXXXXxx上海财经大学统计学系14•计算模型的格林函数为•四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）0101211201,0.60.360.30.66GGGGGG上海财经大学统计学系15§7.3MA模型的预测•对于MA(q)模型我们有•当预测步长，可以分解为•当预测步长，可以分解为11tttqtqX11tltltlqtlqXlqtlX1111tltltlltltqtlqXlqtlX1111ˆ,,,,ttltttltlqtlqttxlEXXXEXX01ˆ,,ttlttltqtlqxlEXXX上海财经大学统计学系16•MA(q)模型预测方差为2221122211var1ltqlqellq上海财经大学统计学系17例7.3•已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）2002年—2004年的常住人口数量及1步预测数量见表21231000.80.60.2,25tttttX年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109上海财经大学统计学系18•预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。20042004200320022004200420032004200420042004ˆ11000.80.60.2109.2ˆ21000.60.296ˆ31000.2100.8ˆ4100ˆ5100xxxxx上海财经大学统计学系19预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）上海财经大学统计学系20§7.4ARMA模型的预测•关于ARMA模型有1111ttptpttqtqXXX11111111111111tltlptlptltlqtlqtlptlptltlltltqtlqtlptlptltlqtlqXXXXXlqXXlq上海财经大学统计学系21111ˆ,,ˆˆ1ˆˆ1ttltttptltqtlqtptxlEXXXxlxlplqxlxlplq上海财经大学统计学系22例7.4•已知ARMA(1,1)模型为且，预测未来3期序列值的95%的置信区间。2110.80.6,0.0025ttttXX1001000.3,0.01x上海财经大学统计学系23•首先计算未来3期预测值•计算模型的格林函数为100100100100100100100ˆ10.80.60.234ˆˆ20.810.1872ˆˆ30.820.14976xxxxxx010112111,0.20.16GGGGG上海财经大学统计学系24•计算预测方差•计算得到未来3期序列值的95%的置信区间21000222100012222100012var10.0025var20.0026var30.002664eGeGGeGGG100100100100ˆˆ1.96var,1.96varxlelxlel预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）上海财经大学统计学系25§7.5预测值的适时修正对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有的当前信息和历史信息对于序列未来某个时期进行预测。预测的步长值越大，预测精度越差。随着时间的向前推移，在原有时间序列观测值的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如果把新的观测值加入历史数据，就能够提高对的预测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。12,,,tttxxxtlx0l上海财经大学统计学系26例7.2续•假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。•因为根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：443ˆ110097.122.88xx4143ˆˆ1299.16xGx4243ˆˆ2399.50xGx上海财经大学统计学系27•修正预测方差为•步预测销售额的95%的置信区间224302224301var1var136v