概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则一定有（）（A）()1()PAPB；（B）(|)()PABPA；（C）(|)1PAB；（D）(|)1PAB。2、设事件A与B相互独立，且P(A)＞0，P(B)＞0，则（）一定成立（A）(|)1()PABPA；（B）(|)0PAB；（C）()1()PAPB；（D）(|)()PABPB。3、设事件A与B满足P(A)＞0，P(B)＞0，下面条件（）成立时，事件A与B一定独立（A）()()()PABPAPB；（B）()()()PABPAPB；（C）(|)()PABPB；（D）(|)()PABPA。4、设事件A和B有关系BA，则下列等式中正确的是（）（A）()()PABPA；（B）()()PABPA；（C）(|)()PBAPB；（D）()()()PBAPBPA。5、设A与B是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A）A与B互不相容；（B）A与B相容；（C）()()()PABPAPB；（D）()()PABPA。6、设A、B为两个对立事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，则下面关系成立的是（）（A）()()()PABPAPB；（B）()()()PABPAPB；（C）()()()PABPAPB；（D）()()()PABPAPB。7、对于任意两个事件A与B，()PAB等于（）（A）()()PAPB（B）()()()PAPBPAB；（C）()()PAPAB；（D）()()()PAPBPAB。二、填空题1、若AB，AC，P(A)=，()0.8PBC，则()PABC=__________。2、设P(A)=，P(B)=，P(A|B)=，则P(B|A)=_______，(|)PBAB=_______。3、已知()0.7PA，()0.3PAB，则()PAB。4、已知事件A、B满足()()PABPAB，且()PAp，则()PB=。5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_____________。6、设在4次独立的试验中，事件A每次出现的概率相等，若已知事件A至少出现1次的概率是6581，则A在1次试验中出现的概率为__________。7、设事件A，B的概率分别为()13,()16PAPB，①若A与B相互独立，则()PAB_________；②若A与B互不相容，则()PAB___________。8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为__________。9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为，乙击中的概率为，则目标被击中的概率为___________。三、计算题1、某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于1个的概率。2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为6或8；求(1)随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率；(2)随机抽取的电话号码末位数是8的概率。3、已知()()()14PAPBPC，P(AB)=0，()()116PACPBC，求A，B，C至少有一个发生的概率。4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。5、一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。6、有两箱同类零件，第一箱装50只(其中一等品10只)，第二箱装30只(其中一等品18只)；今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。7、右边是一个串并联电路示意图，A、B、C都是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立正常工作的概率(可靠性)，求电路的可靠性。四、证明：若(|)(|)PBAPBA，则事件A与B相互独立。第二、三章《随机变量及其分布》练习题一、单项选择题1、设离散型随机变量X的分布列为X012P()Fx为X的分布函数，则(1.5)F=（）（A）0；（B）；（C）；（D）1。2.如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X的分布函数（）BCA0.900.700.70（A）0,0,1/3,01()1/2,121,2xxFxxx；（B）0,0,()ln(1),01xFxxxx；（C）20,0,1(),0241,2xFxxxx；（D）0,0,()1,0xxFxex；3、当常数b=（）时，(1,2,)(1)kbpkkk为某一离散型随机变量的概率分布（A）2；（B）1；（C）1/2；（D）3。4、设随机变量X的分布函数为()XFx，则随机变量21YX的分布函数()YFy是（）（A）1()22yF；（B）(1)2yF；（C）2()1Fy；（D）11()22Fy。5、设随机变量2~(,)XNaa，且~(0,1)YaXbN，则,ab应取（）（A）2,2ab；（B）2,1ab；（C）1,1ab；（D）1,1ab。6、设某一连续型随机变量X的概率密度()fx在区间[,]ab上等于sinx，而在此区间外等于0，则区间[,]ab为（）（A）[0,/2]；（B）[0,]；（C）[/2,0]；（D）[0,3/2]。7、设随机变量2~(,)XN，则随的增大，则{||}PX（）（A）单调增加；（B）单调减少；（C）保持不变；（D）增减不定。8、设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，{1}{1}1/2PXPY，{1}{1}1/2PXPY，则下列式子成立的是（）（A）{}1/2PXY；（B）{}1PXY；（C）{0}1/4PXY；（D）{1}1/4PXY。9、设随机变量X与Y相互独立，它们的分布函数分别为(),()XYFxFy，则min(,)ZXY的分布函数为（）（A）()()ZXFzFz（B）()()ZYFzFz；（C）()min{(),()}ZXYFzFzFz；（D）()1[1()][1()]ZXYFzFzFz。二、填空题1、设离散型随机变量X的分布函数0,1,,11,()2,12,3,2,xaxFxaxabx且{2}1/2PX，则a______，b______，X的分布列为__________。2、设随机变量X的分布函数2,1,()0,1,baxFxxx则a______，b_____，{12}PX__，X的概率密度f(x)=______。3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X表示3点朝上的次数，则X~______，X的概率分布为_____________。4、设随机变量X的概率密度为34,01,()0,,xxfx其它则使{}{}PXaPXa成立的常数a______。5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为％，且具有％的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15－％之间的概率为。6、设2~(,)XN，其概率密度21(3)()exp{}42xfx，则___,___。7、(X,Y)的分布律为YX12311/61/91/1821/3ab则X的分布律为，Y的分布律为；{}PXY；当a=_____,b=_____时，X与Y相互独立。8、设随机变量X与Y相互独立，且X、Y的分布律分别为X－3－2－1Y123P1/41/41/2P2/51/52/5则X与Y的联合分布律为__________；Z=X+Y的分布律为__________。9、设D由y=1/x,y=0,x=1,x=e2围成，(X,Y)在D上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为_______________。10、若X与Y独立，而221122~(,),~(,),XNYN则X+Y~_____。11、X与Y相互独立，且X~U(−1,1),Y~e(1)即e,0,()0,0,yYyfyy,则X与Y的联合概率密度(,)fxy_____,1,,0,,XYZXY的分布为______。三、计算题1、3个不同的球，随机地投入编号为1，2，3，4的四个盒子中，X表示有球盒子的最小号码，求X的分布律。2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品，1个为一等品，2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为，则试求产品的废品率。3、设随机变量X的概率密度为2,|1,()10,.Axfxx其它试求(1)A;(2){||1/2};PX(3)X的分布函数F(x)。4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从0,4的正态分布，观测者把偏离值超过10米时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。5、设X的分布列为：X－21/2024P8141816131求：（1）X＋2；（2）－X＋1；（3）X2的分布列。6、设随机变量1X与2X独立同分布，且已知1(),(1,2,3;1,2)3iPXkki，记随机变量112max{,}YXX，212min{,}YXX。求（1）12(,)YY的联合分布列；（2）判断1Y与2Y是否互相独立；（3）求12(3)PYY，12()PYY。7、设(X,Y)的概率密度为2,01,02,(,)0,xaxyxyfxy其它,试求(1)a；（2）{1}PXY；(3)X与Y是否相互独立8、已知(,)XY的联合概率密度为24,01,0,(,)0,xxyxfxy其它,（1）求关于X和Y的边缘概率密度(),()XYfxfy；（2）判断X与Y是否相互独立；（3）求{1/2}PX；{1/2,1/2}PXY。9、设随机变量X的概率密度为其它,010,1)(xxf求函数Y＝3X+1的概率密度。第四、五章《随机变量的数字特征与中心极限定理》练习题一、单项选择题1、设X~B(n,p)，且E(X)=,D(X)=,则（）（A）4,0.6np；（B）6,0.4np；（C）8,0.3np；（D）24,0.1np。2、设随机变量X与Y满足()()()EXYEXEY，则（）（A）()()()DXYDXDY；（B）()()()DXYDXDY；（C）X与Y独立；（D）X与Y不独立。3、随机变量X服从区间(,)ab上均匀分布，()1,()1/3EXDX，则区间(,)ab为（）（A）(0,1)；（B）(1,3)；（C）(0,2)；（D）(0.5,1.5)。4、设1X与2X为两个随机变量，且1212()5,()8,()10DXDXDXX，则12cov(,)XX=（）（A）3/2；（B）3/2；（C）3；（D）3。5、设随机变量X与Y独立同分布，记,UXYVXY，则U与V必（）（A）独立；（B）不独立；（C）不相关；（D）相关系数不为零。5、设X的概率密度21(1)()exp{}822xfx，则2(21)EX（）（A）1；（B）6；（C）4；（D）9。二、填空题1、设随机变量123,,XXX相互独立，且都服从2(,)N，而123()3YXXX，则~Y___，12~Y__。2、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且E[(X−1)(X−2)]=1，则_____。3、