第四章-随机变量的数字特征总结

随机变量的数字特征——总结-1-第四章随机变量的数字特征㈠数学期望表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置．1、数学期望的定义(1)定义离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为d)()()(，，连续型离散型xxxfxXxXkkkPE其中Σ表示对X的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在．①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为,即2、两点分布的数学期望设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布，，则。4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U[a，b](ab),它的概率密度函数为:=则=∴E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．随机变量的数字特征——总结-2-2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ0，-μ+)则令得∴E(ξ)=μ.3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2)随机变量的函数的数学期望设)(xgy为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ，有类似的公式：．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgYkkkPEE．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZijjijiPEE设(,)XY为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,ijijPXaYbpij如果级数(,)ijijjigabp绝对收敛，则(,)XY的函数(,)gXY的数学期望为[(,)](,)ijijjiEgXYgabp；特别地();()iijjijiijiEXapEYbp.设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则X的函数()gX的数学期望为[()]()()EgXgxfxdx．随机变量的数字特征——总结-3-设(,)XY为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)fxy，如果广义积分(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则(,)XY的函数(,)gXY的数学期望为[(,)](,)(,)Egxygxyfxydxdy；特别地()(,)Exxfxydxdy,()(,)EYyfxydxdy.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z=E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。2、数学期望的性质(1)对于任意常数c，有ccE．例E[E(X)]=E(X)(2)对于任意常数，有XXEE．例：E(aX+b)=aE(X)+b(3)对于任意mXXX,,,21，有mmXXXXXXEEEE2121．(4)如果mXXX,,,21相互独立，则mmXXXXXXEEEE2121．(注：相互独立有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立)㈡方差和标准差表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．1、方差的定义称222)()(XXXXXEEEED为随机变量X的方差，称XD为随机变量X的标准差．随机变量X的方差有如下计算公式：．；连续型离散型)(d)()(22xxfXxxXXxXkkkEPED(4.3)2、常见分布的方差(1)两点分布设ξ～(0-1)，其概率分布为:P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1-p=q(0p1)E(ξ)=p，E(ξ2)=12×p+02×(1-p)=p∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=p-p2=p（1-p）(2)二项分布设ξ～B(n,p)，其概率分布为:(k=0,1,2,…,n)(0p1)E(ξ)=np,(此处运用组合数公式)随机变量的数字特征——总结-4-==,(运用二项分布的数学期望公式知)E(ξ2)=np(n-1)p+np,∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=np(1-p)．(3)均匀分布设ξ～U[a,b](ab)，它的概率密度函数为:E(ξ)=(a+b)/2,.∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=(b-a)2/12.(4)正态分布设ξ～N(μ,σ2),它的概率密度函数为:(σ0，-∞μ+∞)E(ξ)=μ(令t=(x-μ)/σ)=σ2∴D(ξ)=σ2.(5)指数分布随机变量的数字特征——总结-5-2、方差的性质(1)0XD，并且0XD当且仅当X（以概率１）为常数；(2)对于任意实数，有XXDD2；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用）(3)若mXXX,,,21两两独立或两两不相关，则mmXXXXXXDDDD2121．（4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P｛X=E（X）｝=1或者P{X=C}=1.(5)设X是一个随机变量，c是常数，则D(X+c)=D(X).例：D(kξ+c)=k2D(ξ)；㈢切比雪夫不等式我们知道方差)(XD是用来描述随机变量X的取值在其数学期望)(XE附近的离散程度的，因此，对任意的正数，事件)(XEX发生的概率应该与)(XD有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。定理1设随机变量X的数学期望)(XE与方差)(XD存在，则对于任意正数，不等式2)(])([XDXEXP（1）或2)(1])([XDXEXP（2）都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的数学期望和方差即可对X的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。例1已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。解设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则700)()(,7300)(XDXXE而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{XPXPXP又912100700}2100|7300{|22XP所以98}94005200{XP㈢协方差和相关系数考虑二维随机向量),(YX，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X和Y的联合数字特征——协方差和相关系数．随机变量的数字特征——总结-6-1、协方差和相关系数的定义(1)协方差随机变量X和Y的协方差定义为YXXYYYXXYXEEEEEE))((),cov(，其中．；连续型离散型dd,,yxyxxyfyYxXyxXYijjijiPE(2)相关系数随机变量X和Y的相关系数定义为yxYXXYYXYXEEEDD,cov．2、协方差的性质设随机变量X和Y的方差存在，则它们的协方差也存在．(1)若X和Y独立，则0),cov(YX；对于任意常数c，有0),cov(cX．(2)),cov(),cov(XYYX．(3)对于任意实数a和b，有),cov(),cov(YXabbYaX．(4)对于任意随机变量ZYX,,，有．，),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(ZXYXZYXZYZXZYX(5)对于任意X和Y，有YXYXDD,cov．（等号成立，且当仅当存在常数啊，a，b使P{Y=a+bX}=1成立）(6)对于任意X和Y，有),cov(2)(YXYXYXDDD．3、相关系数的性质相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设——X和Y的相关系数，,,,,222121YXYXDDEE(1)11．(2)若X和Y相互独立，则=0；但是，当=0时X和Y却未必独立．(3)1的充分必要条件是X和Y（以概率１）互为线性函数．(4)对随机变量x，y，下列事件等价：随机变量的数字特征——总结-7-①cov（X,Y）=0;②X和Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y)三条性质说明，随着变量X和Y之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．4、随机变量的相关性假设随机变量X和Y的相关系数存在．若=0，则称X和Y不相关，否则称X和Y相关．(1)若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2)若X和Y的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价．㈣矩在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．1、原点矩对任意实数0k，称kkXE为随机变量Ｘ的k阶原点矩，简称k阶矩．XE1．原点矩的计算公式为：．；连续型离散型d)()()(xxfxxXxXkiikikkPE一阶原点矩是数学期望()EX；2、中心矩称kkXXEE为随机变量Ｘ的k阶中心矩．二阶中心矩是方差D(X)；3.混合中心矩随机变量(,)XY的(,)kl阶混合原点矩定义为()klEXY；随机变量(,)XY的(,)kl阶混合中心矩定义为[(())(())]klEXEXYEY．(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)XY.（四）常用分布的数字特征9.1当X服从二项分布(,)Bnp时，(),()(1)EXnpDXnpp．9.2当X服从泊松分布()p时，(),()EXDX，9.3当X服从区间(,)ab上均匀分布时，2()(),()212abbaEXDX9.4当X服从参数为的指数分布时，211(),()EXDX9.5当X服从正态分布2(,)N时，2(),()EXDX．9.6当(,)XY服从二维正态分布221212(,,,,)N时，211(),()EXDX；222(),()EYDY；12cov(,),XYXY三、典型例题及其分析例4.2.1一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差DX.随机变量的数字特征——总结-8-【思路】关键是求出X的分布律，然后用定义计算EX.【解】引入事件：i=1,2,3.iAi第个部件需要调整根据题设，三部件需要调整的概率分别为1230.10,0.20,0.30.PAPAPA由题设部件的状态相互独立，于是有12312300.90.80.70.504.PXPAAAPAPAPA12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398PXPAAAAAAAAA12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.30.092;PXPAAAAAAAAA于是X的分布律为X0123P0.5040.3980.0920.006从而00.50410.39820.092