归纳与类比

归纳推理学习目标•1、了解推理的含义•2、能进行简单的归纳推理•3、体会归纳推理在数学发现中的作用创设情境•华罗庚教授曾经举过一个例子：•从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都是红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是不是袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验•在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对所得的结论进行验证和证明。•问题：什么是推理？怎么进行推理？１、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个判断：天要下雨了。２、谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪扎灯。”根据一个或几个已知的命题得出另一个新命题的思维过程。推理：•蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物•所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的案例：1•三角形的内角和是180０,凸四边形的内角和是360０,凸五边形的内角和是540０,•所以,凸n边形的内角和是案例：20180)2(n从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.它们有什么共同点？观察下面等式,并归纳出一般结论:dadaadadaadadaadaaaadan3210,1341231121111中的等差数列公差首项nadnadan)1(11想一想？例1：已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1，....)2,1(1212naann试归纳出数列{an}的一个通项公式.观察下面等式,并归纳出一般结论:95461432174361321532612132161122222222222222321n)12)(1(61nnn归纳推理的一般思维过程：实验、观察概括、推广猜测一般性结论哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。例如:4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....8)1000()2)(1()(xxxxf8)3(,8)2(,8)1(fff由此我们猜想：8)(nf)(Nn归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？（2）狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的;狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；由此我们猜想:（1）函数所有的动物都是有骨骼的。前提当n=0时，n2-n+11=11当n=1时，n2-n+11=11当n=2时，n2-n+11=13当n=3时，n2-n+11=17当n=4时，n2-n+11=23当n=5时，n2-n+11=31结论对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数11,11,13,17,23,31都是质数归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？归纳推理的几个特点:1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598668612812610多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式小结2.归纳推理的一般思维过程:1.什么是归纳推理（简称归纳）?实验、观察概括、推广猜测一般性结论3.归纳推理的特点791234561111116912345111115912341111491231113912112911、根据给出的数塔猜测等于()A、1111110B、1111111C、1111112D、1111113,181322,283522,385722,4879222、由此得到的结论是:课堂检测：B,8)12()12(22nnn3,2,1,0n822nnn822nn3、当时，成立，所以对于所有的，上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？自然数成立。322322833833,154415444、，，abab88均为正整数）（ba,若，，请推测ab863不正确，当n=3时不成立。类比推理工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想;火星上也可能有生命存在.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为类比推理.(简称;类比)类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.观察、比较联想、类推猜测新的结论类比推理的思维过程例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:例2：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位０１２３４５６７十进位０１２３４５６７例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（）十六进位８９ＡＢＣＤＥＦ十进位８９１０１１１２１３１４１５ＡＡ．６EＢ．７２Ｃ．５ＦＤ．０Ｂ例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或设圆的方程为①b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质类比得出求的性质球的体积34V=πR3球的表面积2S=4πR圆的周长S=2πR圆的面积2S=πR合情推理先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想;再进行归纳、类比;然后提出猜想的推理.统称为合情推理.1.合情推理的概念2.合情推理的过程从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳类比提出猜想数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的作用由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.说明:归纳推理与类比推理的区别区别推理形式推理结论合情推理归纳推理类比推理由部分到整体,个别到一般的推理由特殊到特殊的推理结论不一定正确，有待进一步证明演绎推理34案例：（1）观察1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,……由上述具体事实能得到怎样的结论？（2）在平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b.类比地推广到空间，你会得到什么结论？并判断正误.归纳推理类比推理35完成下列推理，1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,所以铜能够导电.因为铜是金属,所以2007不能被2整除.因为2007是奇数,一般性的原理特殊情况结论一般性的原理特殊情况结论它们是合情推理吗？它们有什么特点？案例：36从一般性的命题推演出特殊命题的推理方法称为演绎推理．1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,所以铜能够导电.因为铜是金属,所以2007不能被2整除.因为2007是奇数,一般性的原理特殊情况结论一般性的原理特殊情况结论案例分析：37从一般性的命题推演出特殊命题的推理方法称为演绎推理．1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.因为铜是金属,大前提小前提结论一般性的原理特殊情况结论案例分析：（1）演绎推理的主要形式：三段论式推理（2）三段论式推理常用格式：注：M——P(M是P)S——M(S是M)S——P(S是P)大前提小前提结论“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(1).“三段论”的一般模式(2).“三段论”的表示大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.39(1)应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.说明:(2)应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.注意:40∵二次函数的图象是一条抛物线,例1完成下面的推理过程“函数y=x2+x+1的图象是.”函数y=x2+x+1是二次函数,∴函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线.大前提小前提结论解：一条抛物线PS试将其恢复成完整的三段论．41练1分析下列推理是否正确，说明为什么？(1)自然数是整数，3是自然数，3是整数.大前提错误推理形式错误(2)整数是自然数，-3是整数，-3是自然数.(4)自然数是整数，－3是整数，－3是自然数.(3)自然数是整数，-3是自然数，-3是整数.小前提错误42思考所以菱形是正多边形因大前提是错误的(因为所有边长都相等,内角也相等的凸多边形才是正多边形),所以所得的结论是错误的.(1)上面的推理形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?为什么?因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,······大前提而菱形是所