《平面向量的内积》中职数学(基础模块)下册7.3【高教版】2

第七章平面向量7.3向量的内积创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，30角的方向拉小车，使小车前进了100m．朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．力F是水平方向的力233．W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即动脑思考探索新知233．W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．BAOabOAa，如图，设有两个非零向量a，b，作OBb，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b．两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosa，b(7.10)由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0.动脑思考探索新知动脑思考探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：当a＝b时，有a，a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝．aacosa,b＝||||．abab当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b=时，a·b＝−|a||b|．180a·b＝0ab.对非零向量a，b，有动脑思考探索新知可以验证，向量的内积满足下面的运算律：a·b＝b·a.ababab．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.a·(b·c)≠(a·b)·c.一般地，向量的内积不满足结合律，即巩固知识典型例题例1已知|a|＝3,|b|＝2,a，b＝60°，求a·b．解a·b＝|a||b|cosa，b＝3×2×cos60°＝3．巩固知识典型例题22例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求a,b．22||||222．abab解cosa,b＝由于0≤a,b≤180°，所以a,b＝135．运用知识强化练习14．3．1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,a,b＝30°，求(2a＋b)·b．639+．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)aaa22xy设a＝(x,y)，则，即a22xy(7.12)动脑思考探索新知121222221122||||xxyyababxyxy．cosa,b＝(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0x1x2＋y1y2＝0．因此a⊥bx1x2＋y1y2＝0．(7.14)由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．巩固知识典型例题例4已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b,|a|,|b|,a,b．解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5.|a|＝22(1)25．aa|b|＝22(3)110．bb52||||2105．ababcosa，b＝所以a，b＝45．巩固知识典型例题例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥b．(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习2-．7．1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．2.已知a＝(2,−3)，b＝(3,−4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之平面向量内积的概念？自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法自我反思目标检测作业读书部分：阅读教材相关章节实践调查：试着编写一道关于向量书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做）内积的问题并解答．教材习题７.3Ｂ组（选做）继续探索活动探究编者语•要如何做到上课认真听讲？•我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？•1、往前坐•坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。而且，坐在后面很难读到老师的表情。认真听讲不单纯是指听老师说的话，把握老师的表情和语调之类的小细节也是很有必要的。说话比平时更用力，或者表情严肃地强调的那个部分几乎百分之百地会出现在考试中。但是如果坐在后面，那种重要的提示就全都错过了。•与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。•有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。•但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。•2、不要看书，要看老师的眼睛•只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。•认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。•低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充实地听完整堂课。•3、课前预习•课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。•关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。•4、即便上课时不理解也不要放弃•有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。•所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。2021/1/16教学资料精选19谢谢欣赏！2021/1/16教学资料精选20