极大似然估计方法估计GARCH模型参数

计量案例分析报告--极大似然估计方法估计GARCH模型参数一、引言金融业的飞速发展以及各种金融衍生工具的不断引入使金融市场变得越来越复杂，金融市场上各种风险的也不断加剧。1998年的亚洲金融危机和2008年发生的美国次级贷风波都导致了一大批没能很好控制风险的金融机构倒闭，现在业界更是提出了“金融的本质就是经营风险”之说，风险管理也在各大金融机构的日常运作中扮演愈来愈重要的角色。风险管理中的一个最重要的任务就是市场风险的度量和监控，在这方面业内已经开发了一些风险管理方法：VaR、压力测试、Riskmetrics等。但是在使用这些方法的时候，无一例外的都需要估计资产对数收益率的波动率（通常用对数收益率标准差或方差来衡量），资产收益波动率的估计的好坏直接影响风险监测的准确程度。目前资产日对数收益率波动率的估计方法依据使用数据不同大致可分为两类：基于日间数据估计法和基于日内数据估计法。基于日间数据估计法的典型方法是GARCH模型，在估计波动率时使用的信息是交易日日间收益率数据；基于日内数据的波动率估计方法主要是使用日内交易信息进行估计。前者所用信息较少，并且主要以预测波动率为目的，后者却需要更多信息，主要是用来估计已实现波动率，主要用来对交易日当天的风险进行实时监控。本报告将研究基于日收盘价格的收益率波动率估计方法，利用1996年-2007年上证综合指数的日收盘价格，采用极大似然估计方法对GARCH模型进行参数估计，进而得到用来预测未来的波动率的模型，并说明这种估计方法的不足。二、利用极大似然估计方法估计GARCH模型参数假设观测值序列1y、2y、…、ny是来自总体的n个样本，且假设总体的概率密度函数为xf，概率密度函数的分布类型是已知的，但是分布参数未知，需要我们去求解。观测值序列1y、2y、…、ny的联合概率密度函数为：niiiyfyL1（1.1）已知参数的极大似然估计的基本原理是：寻求参数估计值，使得式（1.1）所示的样本概率密度函数值在这些参数估计值下达到最大。通常地，我们对式（1.1）取自然对数，从而转化为求对数似然函数的最大值，即niiiyfyL1lnln（1.2）使得式（1.2）达到最大，需要满足如下导数条件：niiiyfyL1lnln（1.3）每个交易日的对数收益率可以分解=+u。为日对数收益率；其中为平均日对数收益率，是一个固定的常数，它完全由每天影响资产价格重大信息决定，并且在每天影响资产价格重大信息到来后就己经形成；u是是一个均值为0的随机变量，它是由交易过程中资产的买卖双方互相博弈形成，也受每个交易日到来的重大信息的影响。信息主要是通过影响u2来影响u的，这样每个交易日的u2也不尽相同，我们定义u2为实现波动率考虑如下均值方程中包含MA(1)过程，方差方程为GARCH(1，1)的模型为：t=+tu，tu=t-1-t，t=ttz，~tzN（0，1），2t=+21t+2t（1.4）其对数似然函数为：nitnittniL121221ln21-21-)2ln(21-ln（1.5）本案例分析报告打算对上证综合指数的日对数收益率(百分比)建立如式(1.5)所示的模型，然后编写Eviews程序，对GARCH模型中的参数、、、、进行估计，并对估计结果进行简单分析。三、基于上证综合指数的日对数收益率的估计：（1996-2007）(一)数据来源本报告给出的数据是我国1996年1月2日至2007年12月28日上证综合指数的日收盘价格部分有关数据，由于节假日休市，整个样本范围内的实际观测值数是2900个。为了分析方便，建立一个非时间结构类型的工作文件，本报告所用数据保存“grach.wfl”工作文件夹中。本报告编写的程序保存在“table12-2.prg”中，编写程序的主要流程如下:（1）对模型估计中的参数变量进行说明并初始化；（2）先对均值方程进行估计，将得到的方程估计结果作为模型中一些参数的初始值；（3）由于GARCH模型的估计使用的是迭代数值解法，因此需要设定初始方差和初始残差；（4）建立对数似然函数对象，并给出GARCH模型的对数似然函数表达式；（5）对模型进行最大似然估计，井给出输出结果。本报告编写的程序中，使用5个只含有一个元素的系数向量对象来保存GARCH模型中的参数估计值，并设定这些参数初始值都为0.1。接下来，首先使用OLS方法估计均值方程eq_mean，然后将方程eq_mean的第一个参数赋值给，将第二个参数赋值给，将回归方程的标准误差的平方赋值给，接下来，建立对数似然（LogL）对象并设定似然函数。(二)GARCH模型估计结果与分析本文使用极大似然估计对GARCH模型有关参数进行拟合估计。根据本文第二部分的估计方法，我们使用Eviews软件，采用1996-2007年上证综合指数的日收盘价格进行拟合估计。估计的详细结果见表1。表1对数似然估计结果LogL:LOGL1Method:MaximumLikelihood(Marquardt)Date:02/20/16Time:16:18Sample:22900Includedobservations:2899Evaluationorder:ByobservationEstimationsettings:tol=1.0e-05，derivs=accuratenumericInitialValues:MU(1)=0.07867，THETA(1)=0.00952，OMEGA(1)=2.93127，ALPHA(1)=0.10000，BETA(1)=0.10000Convergenceachievedafter28iterationsCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.MU(1)0.0311970.0223401.3964530.1626THETA(1)0.0127410.0191800.6642840.5065OMEGA(1)0.0488330.0063157.7329590.0000ALPHA(1)0.1113130.00580219.184090.0000BETA(1)0.8798160.004250207.02500.0000Loglikelihood-5328.904Akaikeinfocriterion3.679824Avg.loglikelihood-1.838187Schwarzcriterion3.690124NumberofCoefs.5Hannan-Quinncriter.3.683535从表1所示的估计结果可以看到，条件方差方程中的参数估计值都为正数，从而能够保证条件方差的非负数要求。估计结果中，除了参数和估计的z统计量不显著外，其他参数估计都非常显著。根据输出结果，可以写出GARCH模型的估计结果：ttr03120.0，101274.0ttttttz，1,0~Nzt212128798.01113.004883.0ttt对数似然=-5328.904需要注意的是，均值方程中的收益率是百分数，上证综合指数的平均日对数收益率0.03%左右。在条件方差方程中+=0.99111，满足GARCH模型要求且非常接近于1，从而说明前期的冲击对后面的条件方差的影响是持久的，即以前的冲击影响对未来的条件方差预测有着重要的作用。分析预测结果，本文认为：一方面，为减轻股市的动荡，应严格执行《证券法》，加强监管，加大信息披露的透明度，减少人为因素造成的剧烈波动；另一方面，尽早引入卖空机制，为投资者提供多样化投资的机会和风险规避手段，为市场提供连续性，增加证券市场的流动性，并能够实现证券市场的价值发现功能、优化资源配置功能。市场不够透明、信息不对称降低了模型的可预测性，对于我国股票市场每日收益率而言。我国股票市场发展至今，各方面还不够规范，在获知信息上集中地体现为——信息的提前泄露。当一条可能引起股价波动的信息尚未完全到达市场时，已有相当一部分人从各种途径获知该信息并做出了反应，由此造成了信息的泄露。这样，当信息正式到达市场时，市场已将其基本消化，价格的波动性随时已缓慢释放完毕，从而不会发生预想程度的波动，这使得价格与信息的到来不能表现出非常显著的相关性。(三)模型的缺陷由GARCH（p，q）模型是ARCH模型的扩展，因此GARCH（p，q）同样具有ARCH（q）模型的特点。但GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。GARCH模型适合在计算量不大时，方便地描述了高阶的ARCH过程，因而具有更大的适用性。但GARCH（p，q）模型在应用于资产定价方面存在以下的不足：首先，GARCH模型不能解释股票收益和收益变化波动之间出现的负相关现象。GARCH（p，q）模型假定条件方差是滞后残差平方的函数，因此，残差的符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。然而在经验研究中发现，当利空消息出现时，即预期股票收益会下降时，波动趋向于增大；当利好消息出现时，即预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。收益会上升时，波动趋向于减小。GARCH（p，q）模型不能解释这种非对称现象。而国外的许多学者对成熟股市的分析表明，成熟股市普遍存在波动的非对称性，负冲击对股价波动的影响大于同等幅度的正冲击对股票市场的影响。其次，GARCH（p，q）模型为了保证非负，假定（1.4）式中所有系数均大于零。这些约束隐含着t的任何滞后项增大都会增加t因而排除了t的随机波动行为，这使得在估计GARCH模型时可能出现震荡现象。