上海财经大学附属中学高三第一学期数学月考试卷2011.10.9

1上海财经大学附属中学高三第一学期数学月考试卷2011.10.9（满分100分，时间90分钟）成绩___________________一、填空题（每题4分，满分56分）1、已知RxxyyBRxxyyA,,,22，则BA_________。[0,)2、函数32logyx的定义域是___________。0,93、已知幂函数()yfx的图象过点12,22，则2log(2)f。124、下面给出四个命题：①直线l与平面a内两直线都垂直，则la；②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；③圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面的半径；④函数2()2logxfxx的零点有1个；⑤函数2()1,(0)fxxx的反函数是1()1,(1)fxxx。其中正确的命题序号是。②⑤5、有五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有___________种。326、如果函数23(0)()(0)xxyfxx是奇函数，则()fx____________。23x7、在北纬45圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50与东经140圈上，地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是___________。13R8、在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R。329、已知0,1aa有两个命题：①函数logayx是减函数；②关于x的不等式210ax的解集为R，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是。1,10、一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着四个函数：31()fxx，42()fxx，||3()2xfx，41()fxxx，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是_________。2311、已知正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，,EF分别为,SCAB的中点，则异面直线EF与SA所成角的大小是________。412、设圆锥底面圆周上两点,AB间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________。223213、若不等式41xax对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是___。3,314、若1x满足：225xx,2x满足：222log(1)5xx，则12xx_______。72二、选择题（每题5分，满分20分）15、原命题：“设,,abcR，若22acbc，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数有-----------------------------------------------------------------------------------------------------()BA．0B．1C．2D．416、下列结论正确的是------------------------------------------------------------------------------------()DA．当0x且1x时，2lg1lgxxB．当2x时，1xx的最小值为2C．当02x时，1xx无最大值D．当0x时，12xx17、若0,1aa，()Fx为偶函数，则2()()log(1)aGxFxxx的图像--------()CA．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线yx对称18、四面体的一条棱长为x，其余棱长都为1，体积为()yfx，则函数()yfx在其定义域上----------------------------------------------------------------------------------------------------------()DA．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数且无最大值D．不是增函数但有最大值三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）已知集合2|log(3)2Axx，集合2|12Bxx，求AB。解：由2log(3)2x3034xx--------------------1分则13x--------------------------------------------2分1,3A----------------------------------------1分由212x20x-------------------------3分2,0B----------------------------------------1分1,0AB-----------------------------------4分20、（本题满分12分）一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体。⑴求该几何体的表面积；（精确到201.cm）解：SSS表半球圆锥22211432310322----------4分(183109)2154.9cm-----------------2分3⑵如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明。（杯壁的厚度忽略不计）解：31231823V半球------------------------------2分21310303V圆锥-----------------------------2分VV半球圆锥----------------------------------------------1分∴不会溢出杯子--------------------------------------------1分21、（本小题16分）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，高12AA，求⑴直线1AC与平面11AABB所成角的大小；解：连结1AB，∵正四棱柱1111ABCDABCD∴1111BCABBA平面，1AB是1AC在平面11AABB上的射影11CAB就是1AC与平面11AABB所成的角--------------3分在11CAB中，111tan5CAB--------------------------1分115arctan5CAB∴直线1AC与平面11AABB所成的角为5arctan5------1分⑵二面角1BACD的大小；解：过B作BEAC，垂足为E，连结ED------------------1分∵11ABCADC，∴11BACDAC∵11,,ABADBACDACAEAE∴ABEADE，∴2AEBAED∴BED是二面角1BACD的平面角----------------4分在BED中，306BEED，2BD，1cos5BED-----------------------------------------------1分∴1arccos5BED∴二面角1BACD的大小为1arccos5------------1分BA1DD1C1BC1ABA1DD1C1BC1A4⑶四面体1ABDC的体积。解：11113ABDCCABDABDVVSCC----------------2分111112323---------------------2分22、（本题满分16分）已知函数txfx221)(（t是常实数）⑴若函数的定义为R，求()yfx的值域；解：∵20xt恒成立，∴0t---------------------------------------------------------------1分当0t时，()yfx的值域为：(,1)--------------------------------------------------------2分当0t时，由212xyt，2201xttyy，2(1)01yty()yfx的值域为：2(1,1)t-------------------------------------------------------3分⑵若存在实数t使得()yfx是奇函数，证明()yfx的图像在1()21xgx图像的下方。解：∵()yfx是奇函数，∴()()0fxfx，2211022xxtt，xD时恒成立整理得：22(1)2(1)2(1)0xxttt，2(1)2(1)210xxtt，xD时恒成立得：1t，∴2()121xfx--------------------------------------------------------3分12()()12121xxfxgx142(21)422021xx------------------------------3分当且仅当12121xx，即20x等号成立，此式显然不成立------------------2分∴对任意实数x都有()()fxgx即()yfx的图像在1()21xgx图像的下方-------------------------------------2分23、（本题满分18分）已知函数211()2(,0)fxaRaaax。⑴设0mn，判断函数()fx在,mn上的单调性，并加以证明；BA1DD1C1BC1A5解：⑴设12mxxn，则1212222121211()()xxfxfxaxaxaxx--------------1分0mn，12mxxn，12120,0xxxx----------------------------2分12()()0fxfx，即12()()fxfx∴函数()fx在[,]mn上的单调递增----------------------------------------------------1分⑵设0mn且0a时，()fx的定义域和值域都是,mn，求nm的最大值；解：由⑴及()fx的定义域和值域都是[,]mn得(),()fmmfnn因此,mn是方程2112xaax的两个不相等的正数根---------------------------2分等价于方程222(2)10axaax有两个不等的正数根即：22221221220(2)402010aaaaaaxxaxxa12a-----------------------------------------------2分212234121643()33nmxxaaa1(,)2a，32a时，max433nm------------------------------------2分⑶若不等式2|()|2afxx对1x恒成立，求实数a的取值范围。解：221()2(0)afxaaax，则不等式2|()|2afxx对1x恒成立，即：21222xaaxx，∴220122122aaaxxaaxx，对1x恒成立-------3分令1()2(1)hxxxx，1()2(1)gxxxx易知：()hx在[1,)递增，同理1()2gxxx在[1,)递减---------------2分minmax()(1)3,()(1)1hxhgxg-----------------