湖南省师大附中2010届高三上学期第六次月考（数学理）

湖南师大附中2010届高三第六次月考试卷数学（理科）命题：肖强纪爱萍曾克平肖婕审题：朱海棠邓云严勇华李晓平贺祝华本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2，a－1}，B＝{0，3，a2＋1}，若{2}AB，则实数a的值为（C）A．±1B．1C．－1D．0【解析】因为{2}AB，则a2＋1＝2，即a＝±1.但当a＝1时，A＝{1，2，0}，此时{0,2}AB，不合题意，舍去，所以a＝－1，故选C.2.设lmn、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列4个命题：①若//ml，且m，则l；②若//ml，且m∥，则//l；③若,,lmn，则////lmn；④若,,mln，且//n，则//ml.其中正确命题的个数是（B）A．1B．2C．3D．4【解析】易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l可能在平面内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由n知，n且n，由n及n∥，m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确，故选B.3.若关于x的方程|1|2xaa(0,1)aa有两个不等实根，则a的取值范围是（D）A.(0,1)(1,)B．(0,1)C．(1,)D．1(0,)2【解析】据题意，函数|1|(0,1)xyaaa的图象与直线2ya有两个不同的交点.由图知，021a，所以1(0,)2a，故选D.4.在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量OA＝2i＋j，OB＝3i＋kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（B）A．1B．2C．3D．4【解析】由题设，OA＝(2，1)，OB＝(3，k)，则(1,1)ABk.当OA⊥OB时，OAOB06k；当OA⊥AB时，OAAB01k；当OB⊥AB时，2OBAB030kk(无解).所以k的所有可能取值有2个，故选B.5.在极坐标系中，圆C：22cossin0kk关于直线l：()4R对称的充要条件是（A）A．k＝1B．k＝－1C．k＝±1D．k＝0【解析】圆C的直角坐标方程是2220xykxyk，直线l的直角坐标方程是y＝x.若圆C关于直线l对称，则圆心21(,)22kC在直线y＝x上，所以2122k，即k＝±1.又k4＋4k＋1＞0，所以k＝1，故选A.6.如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（D）A.3B.31C.2D.31【解析】连结AE，则AE⊥DE.设AD＝2c，则DE＝c，AE＝3c.椭圆定义，得2a＝AE＋ED＝3c＋c，所以23131cea，故选D.7.设等差数列{}na的前n项和为nS，已知12010a，20092007220092007SS，则2010S（C）A．－2008B．2008C．－2010D．2010【解析】设等差数列{}na的公差为d，则1(1)2nnnSnad，即112nSnadn.所以20092007112009120071()()2009200722SSadadd，由已知2d.又12010a，则201012010120101201021201022Sad，所以20102010S，故选C.8.定义()max,()aababbab，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设max4,3zxyxy则z的取值范围是（A）A．[－7，10]B．[－6，10]C．[－6，8]D．[－7，8]【解析】由题设，14()2max4,313()2xyyxzxyxyxyyx，且|x|≤2，|y|≤2.作可行域，由图知，目标函数4zxy在点(2，2)处取最大值10，在点(－2，1)处取最小值－7.目标函数3zxy点(2，－2)处取最大值8，在点(－2，1)处取最小值－7.所以z的取值范围是[－7，10]，故选A.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.设复数(1)(2)zaii，若复数z在复平面上对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是1(,2)2.【解析】因为(1)(2)2(21)zaiiaai，由已知20122102aaa.10.不等式33|21log(1)||21||log(1)|xxxx的解集是(2，＋∞).【解析】原不等式等价于3(21)log(1)0xx，即3210log(1)0xx或3210log(1)0xx(无解)，由3210log(1)0xx，解得x＞2.11.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的旋转体的表面积是303.【解析】在△ABC中，由余弦定理，得AC＝7.过点C作CO⊥AB，垂足为O，则OC＝BCsin60°＝532.由图知，所形成的旋转体的表面积S为圆锥AO和圆锥BO的表面积之和.所以S＝π×OC×(BC＋AC)＝303.12.已知点C在圆O的直径BE的延长线上，CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于点D，F，则∠ADF＝45º.【解析】因为AC为圆O的切线，则∠B＝∠EAC.又CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD.所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90º，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD＝45º故∠ADF＝∠B＋∠BCD＝45º.13.已知函数74sin(2)(0)66yxx的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为123123,,()xxxxxx，则1232xxx＝53.【解析】取特殊直线y＝2，令4sin(2)26x，则1sin(2)62x.又123706xxx，则1230,,3xxx，所以1232xxx=53.14.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有126条.【解析】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有49C126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条..15.在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使(1)OPtOQtOR=-+uuuruuuruuur.试利用该定理解答下列问题：如图，在ΔABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF＝2FA，BF交CE于点M，设AMxAEyAF，则x＋y＝75.【解析】因为点B、M、F三点共线，则存在实数t，使AM(1)tABtAF.又2ABAE，13AFAC，则AM2(1)3ttAEAC.因为点C、M、E三点共线，则2(1)13tt，所以35t.故43,55xy，75xy.OBEADFCBCAEFMAB东北ABC三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且3sinsin4AC.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若[0,)x，求函数()sin()sinfxxBx的值域.【解】（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则2bac.由正弦定理得2sinsinsinBAC.（2分）又3sinsin4AC，所以23sin4B.因为sinB＞0，则3sin2B.（4分）因为B∈(0，π)，所以B＝3或23.（5分）又2bac，则ab或bc，即b不是△ABC的最大边，故3Bπ.（6分）（Ⅱ）因为3Bπ，则()sin()sinsincoscossinsin333fxxxxxx33sincos3sin()226xxx.（9分）[0,)x，则5666x，所以1sin()[,1]62x.（11分）故函数()fx的值域是3[,3]2.（12分）17.(本小题满分12分)湖南省有许多旅游景点，某同学利用寒暑假旅游了张家界、南岳、韶山、岳阳楼和桃花源等5个景点，并收藏有张家界纪念门票3张，南岳纪念门票2张，韶山、岳阳楼、桃花源纪念门票各1张，现从中随机抽取5张.（Ⅰ）求抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率；（Ⅱ）若抽取的5张门票中5个景点都有记10分，恰有4个景点记8分，恰有3个景点记6分，依此类推.设表示所得的分数，求的分布列和数学期望.【解】（Ⅰ）记抽取的5张门票中“恰有3个景点”为事件A，“恰有4个景点”为事件B.若抽取的5张门票中恰有3个景点，则至少要抽取2张张家界门票，所以3112221323332358()9()28CCCCCCCPAC.（2分）若抽取的5张门票中恰有4个景点，则至多只能抽取2张张家界门票，所以21231222332333232358()31()56CCCCCCCCCPBC.（5分）因为事件A，B互斥，所以931497()()()2856568PABPAPB.故抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率是78.（6分）（Ⅱ）因为5张门票中至少含有2个景点，则的可能取值为10，8，6，4.（7分）其中113323583(10)28CCCPC，31(8)()56PPB，9(6)()28PPA，3232581(4)56CCPC.（10分）所以的分布列为.（11分）33191420151086428562856562E.（12分）18.(本小题满分12分)如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°.（Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值；（Ⅱ）求三棱锥P－MAC的体积.【解】方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN.由已知，PM//CN，则MN//PC，所以MN⊥平面ABC.(1分)过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，由三垂线定理知，AC⊥MH.所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.(3分)连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得2202cos1203ANACCNACCN.由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，1tan60ANMN.(6分)在Rt△CHN中，3sin602NHCN.(7分)在Rt△MNH中，123tan332MNMHNNH.故二面角M－AC－B的正切值是332.(8分)（Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则0113sin1203212PMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN.(12分)方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，按如图所示建立空间直角坐标系Cxyz.(1分)设点00(0,0,)(0)Pzz，由已知可得，点31(,,0)22A，0(0,1,)Mz，则0033(,,),(0,0,)22AMzCPz