甘肃省兰州一中2011届高三上学期期末考试（数学理）

兰州一中2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学试题（理）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设全集U是实数集,R22{|4},{|1},1MxxNxx则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{|21}xxB．{|22}xxC．{|12}xxD．{|2}xx2．下列结论正确的是（）A．当2lg1lg,10xxxx时且B．21,0xxx时当C．xxx1,2时当的最小值为2D．当(0,]2x时，4()sinsinfxxx的最小值是43．已知正项数列{}na为等比数列，且4a是22a与33a的等差中项，若22a，则该数列的前5项的和为（）A．3312B．31C．314D．以上都不正确4．“a=3”是“直线ax－2y－1=0”与“直线6x－4y+c=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件D．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若直线02cyx按向量)1,1(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－86．设双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．16322yxB．132322yxC．1964822yxD．1241222yx7．设函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的图像关于直线23x对称，且它的最小正周期为，则（）A．()fx的图像经过点1(0,)2B．()fx在区间52[,]123上是减函数C．()fx的图像的一个对称中心是5(,0)12D．()fx的最大值为A8．已知||1,||3,0OAOBOAOB，点C在AOB内，且AOC30°，设,OCmOAnOBmnR,则mn等于（）A．13B．3C．33D．39．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（）A．3B．22C．23D．5510．设函数y=f（x）存在反函数y=1()fx,且函数()yxfx的图象过点（1,2），则函数1()yfxx的图象一定过点（）A．（-1,2）B．（2,0）C．（1,2）D．（2,1）11．已知,,lmn是三条不重合的直线，,,是三个不重合的平面，下列四个命题正确的个数为（）①若m,m∥,则②若直线m，n与平面所成的角相等，则m∥n；③存在异面直线m，n，使得m∥，m//，n∥β，则//;④若,,,lmnl∥,则m∥n．A．1B．2C．3D．412．已知a0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2–x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．11[,)(1,)64C．11[,)(1,)84D．11[,)64第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．1+i+i2+i3+……+i2011=．14．已知3,3A，O为原点，点,Pxy的坐标满足303200xyxyy≤≥≥，则OAOPOA的最大值是．15．若直线20kxy与曲线21(1)||1yx有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______________．16．若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1,6经过A、B、C这三点的小圆周长为43，则球O的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量2(3sin,1),(cos,cos)444xxxmn．（1）若1mn,求2cos()3x的值；（2）记nmxf)(，在△ABC中，角CBA,,的对边分别是cba,,且满足CbBcacoscos)2(，求函数f（A）的取值范围．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，90BAC，12ABAA，1AC，M，N分别是11AB，BC的中点．（1）证明：1ABAC；（2）证明：MN∥平面11ACCA；（3）求二面角MANB的余弦值．19．（本小题满分12分）已知圆C：224xy．（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程;（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量ABB1CC1A1MNOQOMON，求动点Q的轨迹方程．20．（本小题满分12分）已知函数22()ln()fxxaxaxaR．（1）当1a时，证明函数()fx只有一个零点；（2）若函数()fx在区间1,上是减函数，求实数a的取值范围21．（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（1）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列;（2）求数列{}na的通项公式;（3）若2(32)nnncan,nT为{}nc的前n项和，求证：nT23．22．（本小题满分12分）椭圆G:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,0,,0FcFc，M是椭圆上的一点,且满足12FMFM=0．（1）求离心率e的取值范围；（1）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为52．①求此时椭圆G的方程；②设斜率为(0)kk的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点3(0,)3P、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）1．C2．B3．B4．B5．A6．A7．C8．B9．D10．A11．B12．A13．014．3，(1,3)15．442,,23316．288π三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）23sincoscos444xxxmn1sin()262x∵1mn∴1sin()262x211cos()12sin()23262xx21cos()cos()332xx．．．．．．．．．．．．5分（2）∵（2a-c）cosB=bcosC由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C）∵ABC∴sin()sin0BCA，∴1cos,23BB∴203A∴1,sin()(,1)6262262AA．．．．．．．．10分18．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：因为1CC平面ABC，所以AC是1AC在平面ABC内的射影，…2分由条件可知ABAC，所以1ABAC．…………………4分（Ⅱ）证明：设AC的中点为D，连接DN，1AD．因为D，N分别是AC，BC的中点，DABB1CC1A1MN所以DN//12AB．又1AM=1211AB，11AB//AB，所以1AM//DN．所以四边形1ADNM是平行四边形．所以1AD∥MN．…………………6分因为1AD平面11ACCA，MN平面11ACCA，所以MN∥平面11ACCA．……………8分（Ⅲ）如图，设AB的中点为H，连接MH，所以MH∥1BB．因为1BB底面ABC，所以MH底面ABC．在平面ABC内，过点H做HGAN，垂足为G．连接MG，则MGAN．所以MGH是二面角MANB的平面角．…………………10分因为MH=1BB=2，由AGH∽BAC，得HG=15．所以MG=22MHHG=215．所以cosMGH=HGMG=2121．二面角MANB的余弦值是2121．…………………12分解法二：依条件可知AB，AC，1AA两两垂直．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz．根据条件容易求出如下各点坐标：DABB1CC1A1MNHGABB1CC1A1MNxyz(0,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，1(0,0,2)A，1(0,2,2)B，1(1,0,2)C，(0,1,2)M，1(,1,0)2N．（Ⅰ）证明：因为(0,2,0)AB，1(1,0,2)AC，所以1ABAC0(1)20020．…………………2分所以1ABAC．即1ABAC．…………………4分（Ⅱ）证明：因为1(,0,2)2MN，(0,2,0)AB是平面11ACCA的一个法向量，且MNAB10022002，所以MNAB．………6分又MN平面11ACCA，所以MN∥平面11ACCA．…………………8分（Ⅲ）设(,,)xyzn是平面AMN的法向量，因为(0,1,2)AM，1(,1,0)2AN，由=0,=0,AMANnn得020,10.2yzxy解得平面AMN的一个法向量(4,2,1)n．由已知，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m．…………………10分设二面角MANB的大小为，则cos||||nmnm=1211=2121．二面角MANB的余弦值是2121．…………………12分19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为1x，l与圆的两个交点坐标为3,1和3,1，其距离为32，满足题意………2分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a时，2()lnfxxxx，其定义域是(0,)………1分∴2121()21xxfxxxx………………………2分令()0fx，即2210xxx，解得12x或1x．0xQ，∴12x舍去．…………………3分当01x时，()0fx；当1x时，()0fx．∴函数()fx在区间01,上单调递增，在区间1,上单调递减∴当x=1时，函数()fx取得最大值，其值为2(1)ln1110f．当1x时，()(1)fxf，即()0fx．∴函数()fx只有一个零点．………………………6分（Ⅱ）显然函数22()lnfxxaxax的定义域为(0,)∴222121(21)(1)()2axaxaxaxfxaxaxxx……………7分①当0a时，1()0,()fxfxx在区间1,上为增函数，不合题意………9分②当0a时，00fxx等价于21100axaxx，即1xa此时()fx的单调递减区间为1,a．依题意，得11,0.aa解之得1a．…………………9分当0a时，00fxx等价于21100axaxx，即12xa此时()fx的单调递减区间为12,a，∴1120aa得12a………………………11分综上，实数a的取值范围是1(,][1,)2U………………………12分法二：①当0a时，1()0,()fxfxx在区间1,上为增函数，不合题意……………7分②当0a时，要使函数()fx在区间1,上是减函数，只需0fx在区间