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中考总复习第一部分数与式1有理数一、正数和负数1.负数:比0小的数;2.正数:比0大的数。3.0既不是正数,也不是负数二、有理数1.有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)(2)分数:正分数和负分数统称为分数(3)有理数:正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。(4)特别注意:π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。2.数轴(1)数轴:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。(2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。3.相反数(1)相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数是0;(2)互为相反数的两数的和为0,即:若a、b互为相反数,则a+b=04.绝对值:(1)绝对值的几何定义:数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做a的绝对值,记作:|a|(2)求绝对值:正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;可用字母表示为:①如果a0,那么|a|=a;②如果a0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。(3)非负性的应用:若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。5.有理数比大小:(1)利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;(2)利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。(3)大数-小数>0,小数-大数<0.基本概念4.倒数(1)倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;(2)若a,b互为倒数,则ab=1;三、有理数的加减法1、有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数.2.有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)运算律的运用规律:在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。3.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).四、有理数的乘除法1.有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)(2)任何数同0相乘,都得0;(3)几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;(4)几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.2.有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.3.有理数除法法则:(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得04.有理数的加减乘除混合运算(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。(2)有理数的加减乘除混合运算,如果有括号先计算括号里的,如果无括则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。五、有理数乘方1.有理数的乘方求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数。记作:an,在an中,a叫做底数,n叫做指数。2.乘方的性质(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。3.有理数的混合运算做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。4.科学记数法:把一个大于10的数记成10na的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数),这种记数法叫科学记数法.5.近似数(1)近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.(2)求近似数:按精确位的要求,用四舍五入法求近似数。(3)有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小。2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数与绝对值的方法,知道a的含义(这里的a表示有理数)。3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。4.理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算。5.能运用有理数的运算解决简单的问题。1.有理数的实际意义。2.求一个数的相反数、绝对值、倒数;在数轴上找出相应的数;数的比较大小。3.用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。课标要求常见考点4.有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。5.有理数的运算。1.为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低,中国政府采取积极的财政税收政策,切实减轻企业负担,以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示,2020年1月至5月,全国累计办理出口退税632400000000元,其中数字632400000000用科学记数法表示为()A.6.324×1011B.6.324×1010C.6.324×109D.6.324×10122.李白出生于公元701年,我们记作+701,那么秦始皇出生于公元前256年,可记作()A.−256B.256C.−957D.4453.在下列数中227,0,π2,−1.414,0.101001⋅⋅⋅⋅⋅⋅(每两个1之间多一个零),有理数的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.在−(−8),−π,|−3.14|,227,0,(−13)2各数中,正有理数的个数有()A.3B.4C.5D.65.下列说法正确的是()A.有理数只是有限小数B.无理数与无理数的和是无理数C.无限小数是无理数D.π3是无理数6.下列说法中,正确的有()①0是最小的整数;②若a=b,则|a|=|b|;③互为相反数的两数之和为零;④数轴上表示两个有理数的点,较大的数表示的点离原点较远.A.0个B.1个C.2个D.3个7.数轴上A,B两点间的距离为2,若点A表示的数是−3,则点B表示的数是()A.−5B.−1C.5D.−5或−18.−(−2020)的相反数是()A.2020B.12020C.−2020D.−120209.若x的相反数是−3,|y|=5,则x+y的值是()A.−8B.2C.−8或2D.8或−210.世界上第一座弧线形钢塔斜拉桥全长15600米,用科学记数法表示15600为________.11.−212倒数是________.12.−4的倒数是________;绝对值是2的数是________.13.已知|a−1|+(b+2)2=0,则(a+b)2021的值是________.14.有理数a、b、在数轴上的位置如图所示.(1)“”或“”填空:a+b________0,c________0,c−b________0;专项练习(2)化简:|a+b|+|c|−|c−b|15.轮胎的直径是否符合标准,是判断轮胎质量的好与差的重要依据之一.东风轮胎厂某批轮胎的标准直径是600mm,质量检验员从这批产品中抽取10个轮胎进行检查,超过标准直径的毫米数记为正,不足的毫米数记为负,检查记录如下(单位:mm):1.序号2.13.24.35.46.57.68.79.810.911.1012.检查结果13.+514.−215.+216.017.−318.−419.+320.−621.+322.+8(1)若与标准直径比较相差不超过5mm的为合格品,请用所学的数学知识说明第几号轮胎不合格?不合格轮胎的实际直径是多少毫米?(2)若与标准直径比较相差不超过5mm的为合格品,请根据抽查的结果估算一下这批轮胎的合格率大约是多少?(3)求这10个轮胎的平均直径(精确到1mm).16.把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:−13,3,−3.1415,227,2020,0,−2,−|4|.17.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|b|.(1)求(a+b)5的值;(2)化简|a|−|a+b|−|c−a|+|c−b|+|ac|−|−2b|.18.计算:(1)−5−(−3)+(−4)−[−(−2)];(2)−(−32)+(−56)+[114−(−38)−(+143)].19.计算:(1)−14−(−12)÷3×|−2|;(2)(−3)×8−(−2)2−|−4|×(−5);(3)3x2y−5xy2+3xy2+7x2y−2xy;(4)9ab−3(a2−2ab)−5(4ab−a2).20.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m是绝对值等于3的负数,求m2(cd+a+b)+(cd)2020的值.2实数一、平方根与立方根1.平方根定义1:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作a,读作“根号a”,a叫做被开方数。即ax。规定:0的算术平方根是0。定义2:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a,那么x叫做a的平方根。即ax。定义3:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。2、立方根定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a,那么x叫做a的立方根,记作3a。即3ax。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0二、实数1.无理数:无限不循环小数又叫做无理数。2.实数:有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。注意:最小的正整数是1,最大的负整数是-1,绝对值最小的数是0。3.实数的分类三、实数的运算基本概念1.加法(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.满足运算律:a+b=b+a;a+(b+c)=(a+b)+c.2.减法:减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把它们的绝对值相乘.(2)n个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.(3)n个数相乘,有一个因数为0,积就为0.(4)满足运算律:ab=ba;(ab)c=a(bc);a(b+c)=ab+ac.4.除法(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.(2)0除以任何一个不等于0的数,都得0.5.乘方与开方:乘方与开方互为逆运算.6.实数的运算顺序加、减、乘、除、乘方、开方(这六种运算称为代数运算)六种运算,加减是一级运算,乘除是二级运算,乘方和开方是三级运算,这三级运算的顺序是三、二、一,如果有括号,先算括号内的;如果没有括号,在同一级运算中,要从左至右依次进行运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.7.比较实数的大小(1)比较实数大小的一般方法:①性质比较法:正数大于0,负数小于0,正数大于任何负数.②绝对值比较法:两个负数,绝对值大的反而小.③数轴比较法:将实数用点表示在数轴上,沿数轴正方向的数越来越大.④差值比较法:设a,b是任意实数,若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b.(2)比较实数大小的特殊方法:①平方法:若ab0,则ba,可以把比较a,b的大小转化成比较a,b的
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