2-2-1

2．2双曲线2．2．1双曲线及其标准方程双基达标（限时20分钟）1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是()．A.x216－y29＝1(x≤－4)B.x29－y216＝1(x≤－3)C.x216－y29＝1(x≥4)D.x29－y216＝1(x≥3)解析根据双曲线的定义可得．答案D2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()．A．32B．42C．33D．43解析由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝43.故选D.答案D3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()．A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C.x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0解析因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.答案C4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．解析因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y2－8k－x2－1k＝1，所以k0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，则c＝3，于是有－8k－1k＝32＝9，解得k＝－1.答案－15．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．解析由双曲线方程x264－y236＝1知，a＝8，b＝6，则c＝a2＋b2＝10.∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.答案336．(1)求经过点P(－3，27)和Q(－62，－7)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．解(1)设双曲线的标准方程为nx2＋my2＝1(m·n0)，又双曲线经过点P(－3，27)和Q(－62，－7)，所以28m＋9n＝1，49m＋72n＝1，解得m＝125，n＝－175，所以所求的双曲线的标准方程为y225－x275＝1.(2)因为椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(±15，4)，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，所以a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y24－x25＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()．A．－1k1B．k1C．k－1D．k1或k－1解析由题意得1＋k0，1－k0，解得k－1，k1，即－1k1.答案A8．已知双曲线C：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()．A．24B．36C．48D．96解析依题意，得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16.∴S△PF1F2＝12×16×102－1622＝48.故选C.答案C9．双曲线x2m－y2m－5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________.解析(1)当焦点在x轴上，有m5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上，有m0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2；综上述，m＝7或m＝－2.答案7或－210．已知椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则实数a＝________.解析由双曲线x2a－y22＝1可知a0，且焦点在x轴上．根据题意，知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.答案111．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．解(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程变为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．(4)当0k1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．12．(创新拓展)已知双曲线的方程为x2－y24＝1，如图，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解设点D的坐标为(5，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，5)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝10－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10＋1.