课时提升作业 二十 3.2.1

课时提升作业二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题(每小题5分,共25分)1.若曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于()A.2B.4C.D.【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=2,解得a=2,故选A.2.(2016·海南高二检测)已知函数f(x)=,则f′(-2)=()A.4B.C.-4D.-【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算.【解析】选D.因为f(x)=,所以f′(x)=-,所以f′(-2)=-=-.3.(2016·临沂高二检测)若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为()A.0B.-1C.1D.2【解析】选B.因为f(x)=f′(-1)x2-2x+3,所以f′(x)=f′(-1)x-2.所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,所以f′(-1)=-1.4.质点做直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s)()A.B.C.D.【解析】选A.因为s==,所以s′=,当t=3时,s′=·=.5.(2016·保定高二检测)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y′=,设切点为(x0,lnx0)(x00),则k=y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故k=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·临沂高二检测)曲线y=x2在x=处的切线的倾斜角α为.【解析】由y=x2,得y′=2x,y′=1,因此斜率k=1,所以α=45°.答案:45°7.(2016·青岛高二检测)曲线y=在点(1,1)处的切线方程是.【解析】由y=,得y′=,所以斜率k=y′=,所以切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.答案:x-2y+1=0【补偿训练】(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.【解析】因为y′=-5ex,所以在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.答案:5x+y+2=08.(2016·石家庄高二检测)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.【解析】y′==≥-1,即tanα≥-1且tanα0,所以≤απ.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·洛阳高二检测)若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.【解析】由于f(x)=,所以f(c)=,又f′(x)==,所以f′(c)=.由题意知f(c)+f′(c)=0,所以+=0,所以2c-1=0,得c=.10.(2016·郑州高二检测)试求过点P(2,-1)且与曲线y=x2相切的直线的方程.【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.【解析】由题意知点P(2,-1)不是曲线y=x2上的点,即点P不是切点,设切点为M(x0,y0),则y0=,①因为y′=2x,所以y′==2x0.又kPM=,所以2x0=.②由①②解得x0=2+或x0=2-.当x0=2+时,切线斜率k=2x0=4+2.此时切线方程为y+1=(4+2)(x-2),即(4+2)x-y-9-4=0.当x0=2-时,切线斜率k=2x0=4-2,此时切线方程为y+1=(4-2)(x-2),即(4-2)x-y-9+4=0.所以切线方程为(4+2)x-y-9-4=0或(4-2)x-y-9+4=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·石家庄高二检测)若曲线y=f(x)=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()A.64B.32C.16D.8【解析】选A.由题得f′(a)=-,切线方程为y-=-(x-a),令y=0,得x=3a,令x=0,得y=.所以切线与两坐标轴交点分别为A(3a,0),B,又因为a0,所以S△OAB=×3a×==18.所以a=64.2.(2016·烟台高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选A.因为f0(x)=sinx,所以f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·洛阳高二检测)已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为.【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1,所以x=+2kπ,k∈Z.答案:4.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.【解题指南】利用y=ex在某点处的切线与另一曲线的切线垂直求得另一曲线的切线的斜率,进而求得切点坐标.【解析】由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1.又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x00,得x0=1,y0=1,所以点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)【补偿训练】曲线y=和y=x2在它们交点A处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】由得交点的坐标为(1,1).由y=x2得y′=2x,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由y=得y′=-,所以曲线y=在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.如图所示,xB=,xC=2.S△ABC=××1=.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知曲线y=5,求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.【解题指南】设切点坐标为(x0,y0),求曲线在此点处的导数y′.(1)利用y′=2,求切点坐标,进而求切线方程.(2)利用斜率相等,求切点坐标,进而求切线方程.【解析】(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.所以切线与y=2x-4平行,所以=2,所以x0=,所以y0=.则所求切线方程为y-=2,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,故需设切点坐标为M(x1,y1),则切线斜率为.又因为切线斜率为,所以==,所以2x1-2=x1,得x1=4.所以切点为M(4,10),斜率为,所以切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.6.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.【解析】因为f(x)=,g(x)=alnx,所以f′(x)=,g′(x)=.设f(x),g(x)的交点为(x0,y0),则由已知得解得所以切线斜率k=f′(x0)=f′(e2)=,切点为(e2,e),所以切线方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.