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第二章第六节一、选择题1.(文)函数y=log2x的图像大致是()ABCD[答案]C[解析]考查对数函数的图像.(理)函数f(x)=2|log2x|的图像大致是()[答案]C[解析]∵f(x)=2|log2x|=x,x≥1,1x,0x1,∴选C.2.(文)若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=()A.log2xB.12xC.log12xD.x2[答案]C[解析]由题意知f(x)=logax,∴a=logaa12=12,∴f(x)=log12x,故选C.(理)若点(a,b)在y=lgx图像上,a≠1,则下列点也在此图像上的是()A.(1a,b)B.(10a,1-b)C.(10a,b+1)D.(a2,2b)[答案]D[解析]该题考查对数的运算性质,将横坐标看成自变量,看函数值是不是纵坐标,假设是,则点在图像上,若不是,则点不在图像上.由题意知b=lga,对于A选项,lg1a=-lga=-b≠b,对B选项lg(10a)=1+lga=1+b≠1-B.对C选项lg10a=1-lga=1-b≠b+1,对D,lga2=2lga=2b,故(a2,2b)在图像上.3.(2015·营口调研)函数f(x)=logax(a0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x21)-f(x22)等于()A.2B.1C.12D.loga2[答案]A[解析]x10,x20,f(x21)-f(x22)=logax21-logax22=2(logax1-logax2)=2[f(x1)-f(x2)]=2.4.设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m=()A.10B.10C.20D.100[答案]A[解析]由2a=5b=m,则a=log2m,b=log5m,代入1a+1b=2得1log2m+1log5m=2,则lg2lgm+lg5lgm=2,即lg2+lg5lgm=2,即lgm=12,则m=10.5.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=12x;当x4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=()A.124B.112C.18D.38[答案]A[解析]∵234=22,∴1log232,∴32+log234,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=12log224=2-log224=2log2124=124.6.(文)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.(0,12]C.[12,2]D.(0,2][答案]C[解析]因为log12a=-log2a且f(-x)=f(x),则f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)⇒f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1).又f(log2a)=f(|log2a|)且f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1⇒-1≤log2a≤1,解得12≤a≤2,选C.(理)若函数f(x)=log2(x+1)且abc0,则faa、fbb、fcc的大小关系是()A.faafbbfccB.fccfbbfaaC.fbbfaafccD.faafccfbb[答案]B[解析]∵faa、fbb、fcc可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率,结合函数f(x)=log2(x+1)的图像及abc0可知fccfbbfaa.故选B.二、填空题7.(2014·陕西高考)已知4a=2,lgx=a,则x=________.[答案]10[解析]本题考查指数与对数运算.4a=2,∴a=12,lgx=a=12,∴x=10.8.(2015·东营质检)已知函数f(x)=3x+1,x≤0log2x,x0,则使函数f(x)的图像位于直线y=1上方的x的取值范围是________.[答案]{x|-1x≤0或x2}[解析]当x≤0时,由3x+11,得x+10,即x-1.∴-1x≤0.当x0时,由log2x1,得x2.∴x的取值范围是{x|-1x≤0或x2}.9.函数y=log3(x2-2x)的单调减区间是________.[答案](-∞,0)[解析](等价转化法)令u=x2-2x,则y=log3u.∵y=log3u是增函数,u=x2-2x0的单调减区间是(-∞,0),∴y=log3(x2-2x)的单调减区间是(-∞,0).三、解答题10.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.[解析](1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则x+10,1-x0,解得-1x1.故所求定义域为{x|-1x1}.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1x1},且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x).故f(x)为奇函数.(3)因为当a1时,f(x)在定义域{x|-1x1}上是增函数,所以f(x)0⇔x+11-x1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是{x|0x1}.一、选择题1.(2014·四川高考)已知b0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c[答案]B[解析]B本题考查指对互化、指对运算性质等.可逐项验证.A中,d=log510,而ac=log5b·lgb=lgblg5·lgb=lgb2lg5,∴A错.B中,cd=lgb·log510=lgb·lg10lg5=lgblg5=log5b=a,选B.解题时要灵活应用换底公式等.2.(文)函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4[答案]B[解析]∵y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性.∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1)=a,即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a=12.(理)已知x=lnπ,y=log52,z=e-12,则()A.xyzB.zxyC.zyxD.yzx[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用.∵y=log52=1log25,z=e-12=1e且e2log25∴yz1,又lnπ1,∴yzx,故选D.二、填空题3.已知lgx+lgy=2lg(2x-3y),则log32xy的值为________.[答案]2[解析]依题意,可得lg(xy)=lg(2x-3y)2,即xy=4x2-12xy+9y2,整理得4(xy)2-13(xy)+9=0,解得xy=1或xy=94.∵x0,y0,2x-3y0,∴xy=94,∴log32xy=2.4.(2014·兰州、张掖联考)函数f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数,则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有________个.[答案]9[解析]∵logn+1(n+2)=lnn+2lnn+1,∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)=ln3ln2·ln4ln3·ln5ln4·…·lnk+2lnk+1=lnk+2ln2=log2(k+2).∵1024=210,2048=211,且log24=2,∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10-1=9个.三、解答题5.已知函数f(x)=loga(2-ax),是否存在实数a,使函数f(x)在[0,1]上是x的减少的,若存在,求a的取值范围.[分析]参数a既出现在底数上,又出现在真数上,应全面审视对a的取值范围的制约.[解析]∵a0,且a≠1,∴u=2-ax是x的减函数.又f(x)=loga(2-ax)在[0,1]是减少的,∴函数y=logau是u的增函数,且对x∈[0,1]时,u=2-ax恒为正数.其充要条件是a12-a0即1a2.∴a的取值范围是(1,2).6.(文)已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;(2)求f(log1224)的值.[解析](1)令x∈[-1,0),则-x∈(0,1],∴f(-x)=2-x-1.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=f(-x)=2-x-1,∴f(x)=-12x+1.(2)∵log1224=-log224∈(-5,-4),∴log1224+4∈(-1,0),∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(log1224)=f(log1224+4)=-12log1224+4+1=-24×116+1=-12.(理)若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值;(2)x取何值时,f(log2x)f(1),且log2f(x)f(1).[解析](1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,由已知(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0.∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2.又log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2.故f(x)=x2-x+2.从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-12)2+74.∴当log2x=12,即x=2时,f(log2x)有最小值74.(2)由题意log2x2-log2x+22,log2x2-x+22⇒x2或0x1,-1x2⇒0x1.∴x的取值范围为(0,1).
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