2010年全国初中数学联合竞赛试题

2010年全国初中数学联合竞赛试题亲爱的同学们，你们好!又是一年的全国数学联赛题，请同学们放松心态，以你们最佳状态参加考试，相信你们是最棒的！好了，下面让我们一起遨游在数学的世界中吧！.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca（）A．1.B．2.C．3.D．4..2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若ba,是两个正数，且,0111abba则（）4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则12320092010aaaaa（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy.2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.___P_A_C_B二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积._Q_I_P_C_A_M_B第二试（B）一．（本题满分20分）设整数,,abc为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）..第二试（C）一．（本题满分25分）设p是大于2的质数，k为正整数．若函数4)1(2pkpxxy的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．