2014年高考大纲版数学（文）卷（有答案）

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为()A.2B.3C.5D.7【答案】B(2)已知角的终边经过点（-4,3），则cos=()A.45B.35C.－35D.－45【答案】D(3)不等式组(2)01xxx的解集为()A.{21}xxB.{10}xxC.{01}xxD.{1}xx【答案】C（4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33【答案】B(5)函数y=ln(31x)(x-1)的反函数是()A.3(1)(1)xyexB.3(1)(1)xyexC.3(1)()xyexRD.3(1)()xyexR.【答案】D（6）已知a、b为单位向量，其夹角为60，则（2a－b）·b=()A.－1B.0C.1D.2【答案】B(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C（8）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C(9)已知椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点为F1,F2离心率为33，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.22132xyB.2213xyC.221128xyD.221124xy【答案】A（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是()A.814B.16C.9D.274【答案】A(11)双曲线C:22221(0,0)xyabab的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于()A.2B.22C.4D.42【答案】C(12)奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.－2B.－1C.0D.1【答案】D二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。(13)(x-2)6的展开式中3x的系数为.（用数字作答）【答案】-160（14）函数cos22sinyxx的最大值为.【答案】32（15）设x，y满足约束条件02321xyxyxy，则z=x+4y的最大值为.【答案】5（16）直线l1和l2是圆222xy的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的交角的正切值等于.【答案】43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式.解：（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是111()(21)nnkkkkaak于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n+1+a1.又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.（18）（本小题满分10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=12.所以tanB=tan[180-(A+C)]=-tan(a+c)=tantan1tantanACAC=-1,即B=135.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离，A1E=3，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=3,作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=22111AAAD,得D为AC的中点，DF=1525ACBCAB,tan∠A1FD=115ADDF,所以二面角A1-AB-C的大小为arctan15.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则AF(-2，1，0),1(2,0,0),(2,0,)ACAAac，111(4,0,),(,1,)ACACAAacBAac，由12AA得22(2)2ac，即2240aac，于是11ACBA2240aac①,所以11ACBA.（2）设平面BCC1B1的法向量(,,)mxyz，则mCB，1,mCBmBB,即10,0mCBmBB，因11(0,1,0),(2,0,)CBBBAAac，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，(,0,2)mca，点A到平面BCC1B1的距离为222cos,(2)CAmcCAmCAcmca，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为3，所以c=3.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是1(1,0,3)AA，设平面ABA1的法向量(,,)npqr，则1,nAAnAB,即10,0nAAnAB.30pr且-2p+q=0，令p=3，则q=23，r=1，(3,23,1)n，又(0,0,1)p为平面ABC的法向量，故cos1,4npnpnp，所以二面角A1-AB-C的大小为arccos1420.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.（1）D=A1·B·C+A2·B+A2·B·CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=220.5,0,1,2iCi.所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p(B)·p(C)=0.31.(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.310.1.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；若k=4，则P(F)=0.060.1.所以k的最小值为3.21.（本小题满分12分）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.解：（1）2()363fxaxx，2()3630fxaxx的判别式△=36（1-a）.（i）若a≥1，则()0fx，且()0fx当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a≠0，故当a1时，()0fx有两个根：121111,aaxxaa，若0a1,则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，()0fx，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是增函数；当x∈（x2，x1）时，()0fx，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；（2）当a0，x0时,()0fx，所以当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f且(2)0f，解得504a.综上，a的取值范围是5[,0)(0,)4.22.（本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)ypxp的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且54QFPQ.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.解：（1）设Q（x0，4），代入由22(0)ypxp中得x0=8p，所以088,22ppPQQFxpp，由题设得85824ppp，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为24yx.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为1xmy，（m≠0）代入24yx中得2440ymy，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），221214(1)ABmyym，有直线l的斜率为－m，所以直线l的方程为2123xymm，将上式代入24yx中，并整理得2244(23)0yymm.设M(x3,y3),N(x4,y4),则234344,4(23)yyyymm.故MN的中点为E（222342222214(1)2123,),1mmmMNyymmmm）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于12AEBEMN,从而2221144ABDEMN,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)mmmmmmm，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.