第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(华杯赛)初一组试卷(附答案)

第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)（红色字为参考答案）(时间2006年4月22日10:00~ll:30〉一、.填空1、计算：243331(0.25)(2)3()5(2)168（47）2、当2m时，多项式31ambm的值是0，则多项式31452ab（5）3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有(6)名小朋友4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120平方厘米,则正方形EFGH的面积等于(10)平方厘米5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为(4012)6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水(288)立方米7、已知120052006123420052006(1)24816222kkkS，则小于S的最大的整数是(0)8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:,(1),,2,1,0,1,2,,1,nnnn为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是(2005)图1DEFGHCBA图2nn-10-1-2-(n-1)-n二.解答下列各题,要求写出简要过程9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)解:①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆锥的体积.②即:S=13×26×10×π-2×13×23×5×π=90π,2S=180π=565.2(立方厘米).答:体积是565.2立方厘米.10、将21个整数10,9,8,,3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:第一组10第二组98第三组765第四组4321第五组0-1-2-3-4第六组-5-6-7-8-9-10③计算它们的平均值的和:109876543210123456789101171234562答:最大的和是1172。11、当m=-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m=0可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果有,求出这些公共解.解:①分别取m=0和m=1,得到两个方程:210340xyxy先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x=1,y=-1.②把x=1,y=-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着:当m=-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以,x=1,y=-1是对应的10个方程的的公共解.答:这些方程的公共解是x=1,y=-1.图3ODCBA12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由.解:①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线12345,,,,lllll②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。三.解答下列各题,要求写出详细过程13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A、B、C三个点同时出发,甲和乙沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁所有的会合地点.解:①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;②甲第一次追上乙时爬行的时间=862LLvvv，甲第一次追上乙时爬行的路程=842LvLv甲第k+1次追上乙时爬行的时间=322LkLvv,甲第k+1次追上乙时爬行的路程=3()83(14)22LkLvLkLvv因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙③在时刻322LkLvv,丙爬行的路程=331()536()2222LkLkvLkLLvv当k=1时,上式是3()5922LkLvLLvv。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.14、己知m，n都是正整数,并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233Amm，111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233Bnn①证明:12mAm，12nBn②若126AB，求m和n的值.解:①111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233Amm图4CBA10987654321l5l4l3l2l1111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2323mm121341123232mmmmmm同样,12nBn②由题设,11111222226mnABmnmn，11113mn，111131313nmnn所以,1313nmn，1313(1313)131313131313nnmnnn即13+n是13×13的因数,13×13只有3个因数:1，13，132所以,13+n=132,n=132-13=156,m=12.求出正整数m,n另一方法:使11111222226mnABmnmn，11113mn设m=Kα,n=Kb,(α,b)=1,代入上式,11132baKaKbKab(b一α)和α,b都互质,一定整除K.记Kdba是正整数,ba则有1113dab由上式和bα,b=13,α=1,d=l所以,K=12,m和n有唯一解m=13n=156.答:m=13n=156.特别说明:因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.