第19届希望杯全国数学邀请赛高一(一试)试题(含答案)

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试（第二类）2008年3月16日上午8：30至10：00校名________________班_________姓名__________辅导老师_________成绩_____一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。题号12345678910共得分答案1.设全集{1,3,5,7}U，集合{3,5},A{1,3,7}B，则()UACB等于（）（A）{5}(B){3,5}(C){1,5,7}(D)2.函数()lg(21)fxx的定义域为（）（A）R(B)1(,)2(C)1[,)2(D)1(,)23.已知定义在R上的函数()fx的图像是连续的，且其中的四组对应值如右表，那么在下列区间中，函数()fx存在零点的是（）（A）(1,2)(B){3,5}(C){1,5,7}(D)4.函数1()2xy与函数21log()yx的图像（）（A）有且只有1个公共点，且在直线yx上。（B）有且只有1个公共点，且不在直线yx上。（C）有且只有3个公共点，且有1个在直线yx上。（D）没有公共点.5.555的五次方根是（）（A）5(51)5（B）545（C）455（D）5556.Letbethebinaryoperatoronpositiveintergersdefinedbybaba.Considerthefollowingidentities:x1235f(x)-1123①abba②()()abcabc③()()()abcabac④()()()abcacbc(A)①and②aretrue(B)③and④aretrue(C)②istrue(D)Noneistrue7.若三棱锥的三个侧面的斜高相等，棱锥的顶点在底面所在的平面内的射影在底面三角形的内部，则该射影是底面三角形的（）（A）外心（B）内心（C）垂心（D）旁心8.实验室里有一架不等臂天平：同学甲说：分别把所称物体放在左右两个盘中各称一次，则两次称得的质量的平均数就等于被称物体的真实质量；同学乙说：将一个物体放到左盘称得的质量是1千克，将另一个物体放到右盘中，称得的质量也是1千克，则这两个物体的质量之和的真实值是2千克。甲，乙的判断中（）（A）甲对，乙不对（B）乙对，甲不对（C）甲、乙都对。（D）甲、乙都不对9.一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为（）（A）9（B）11（C）13（D）1510.在第一象限内，由过点(3,1)的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值是（）（A）4(B)6(C)274(D)8二、A组填空题（每小题4分，共40分）11.若奇函数()fx在(,0)上是增函数，且(1)0f，则能使()0fx的取值范围是_____________12.函数22()log(210)fxxx的值域为______________13.3log23612432lg3100的值为___________________14.设全集U为全体质数的集合，且2{50,}AxxpxU中有两个元素，则p=___________15.Inthefigure,showsthespeed-timegraphofabodyoveraperiodof90seconds.Giventhatthedistancemovedis1.84km.Thevalueofvis_____________m/s.20509024Time(s)Speed(m/s)v16.某小学生练习将1,2,3,顺序相加，从1到n,但是少加了一个数，所得的和是2008，则少加的那个数是__________17.过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面，这样的平面有4个，用这样的四个平面截去4个小棱锥后，剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是________.18．设方程310xx与310xx的根分别是,，则=___________19.已知函数2(1)1()2211111xxfxxxxx，若()1f，则的取值范围是__________20.已知集合{(,)|3,03}Mxyyxx，2{(,)|1}Nxyyxmx，MN只有一个元素，则实数m的取值范围是____________三、B组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空，每空4分）21.如果二次函数21yaxbx的图像的对称轴是1x，并且图象通过点(1,7)A，则a__________,b___________.22.若直线yxb与曲线24yx有且只有1个公共点，则b的取值范围是____________，若直线与曲线有2个公共点，则b的取值范围是____________。23.已知函数2yaxbxc的图像与函数(1)2yfx的图像重合，那么a__________,b___________.24.函数1()42xxfxa（12x）的最小值为()ga，则(2)g=______,()ga=________.25.已知长方体1111ABCDABCD的棱长110,8,6ABBCAA.点O在棱长AB上，6AO。现已O为球心，r为半径作一球面，则与长方体的6个面都有公共点的球面所对应的半径r的取值范围为_______________;若11r，则该球面与长方体的6个面中的____________个面有公共点。第十九届“希望杯”全国数学邀请赛答案一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910共得分答案ADBACDBDDB二、A组填空题（每小题4分，共40分）（11）(1,0)(1,)（12）2[2log3,)（13）0（14）6（15）40（16）8（17）1:2（18）-1（19）1(,2)(,1)2（20）8(,){122}3三、B组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空，每空4分）（21）2，-4（22）[2,2){22}，[2,22)（23）0，2（24）-4211421421684aaaaaa（25）[8,62]，319.届高一希望杯9题:一个三棱锥的四个面所在平面把空间分成的部分为()A.9B.11C.13D.15推广:空间n个平面最多把空间分成()fn部分,求证:356()6nnfn证明:设平面内n条直线把平面分成最多nb块,空间n个平面把空间最多分成na个部分则112,(1)nnbbbn,212112()()2nnnnnbbbbbb;而1112112,()()nnnnnnaaabaaaaaa222311222225622226nnnnna故356()6nnfn(4)15f