2015年上海市高中数学竞赛试卷

2015年上海市高中数学竞赛试卷2015年3月29日上午9：30～11：30【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．等差数列na中，对任意正整数n，都有1458nnaan，则2015a．2．对整数3n，记231()log3log4lognfnn，则23(2)(2)ff10(2)f．3.有10个大小相同的小球，其中5个是红球，5个是白球．现将这10个球任意排成一排，并从左至右依次编号为1，2，…，10.则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有种．4.在直角坐标平面xOy上，圆22:1Oxy，圆221:(3)4Oxy．过x轴的左半轴上一点M作圆O的切线，与圆O相切于点A，与圆1O分别相交于点,BC，若ABBC，则点M的坐标为．5.已知55cos()3(sincos),,4，则的取值范围是．6.投掷两次骰子，设第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则使得关于x的二次方程20xaxb有两个小于1的不相等实根的概率为．（用数字作答）7.已知集合,,32,AxyxmymmN，2,,(1),BxyxnyaannN，则使得AB的整数a共有个．8.若实数,xy满足3132xxyy，则xy的最大值为．二、解答题9．（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点,AB在双曲线22:240Cxxy上，且使得△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的△OAB的个数．10．（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数．非负整数01,,,naaa均小于p，且满足012201213,2015.nnnaaaaaapapap求素数p．11．（本题满分16分）如图，已知△ABC的面积为1，过△ABC内一点O分别引三条边的平行线,,DEFGHI，点,,,,,DEFGHI均在△ABC的边上，求六边形DGHEFI的面积的最小值．GIHFEDOCBA12．（本题满分16分）设n是正整数，数列12:,,,nAaaa是由数0或1组成的数列，即0ka或1(1)kn．（1）若3n，由数列A定义另一个数列////12:,,,nAaaa，其中11/110,,1,kkkkkaaaaa若若，1,2,,kn，这里011,nnaaaa．求使得/1,1,2,,kkaakn的所有数列A．（本小题只需写出结果，不需解题过程）（2）求使得12naaa除以4余3的数列A的个数．2015年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．4000．2．54．3．126．4．()4,0−．5．3,,44ππππ−−．6．112．7．10．8．9315+．二、解答题9．（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点,AB在双曲线22:240Cxxy+−=上，且使得△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的△OAB的个数．解设:OAl(0)ykxk=≠，则1:OBlyxk=−．由22,240ykxxxy=+−=得()22240kxx−+=，所以220k−≠，242Axk=−，于是22412OAkk=+−．………4分同理可得，22221441()1121()2kOBkkkk=+=+−−．………6分因为△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OAOB=，于是22224411221kkkkk+=+−−，所以221221kkk=±−−．若221221kkk=−−，则322210kkk−−+=，即2(1)(31)0kkk+−+=，解得12335351,,22kkk−+=−==．………………10分若221221kkk=−−−，则322210kkk+−−=，即2(1)(31)0kkk−++=，解得45635351,,22kkk−−−+===．………………12分因为1425361kkkkkk⋅=⋅=⋅=−，所以由1k和4k得到的两个三角形是相同的，同样，由2k和5k得到的两个三角形是相同的，3k和6k得到的两个三角形也是相同的．综上所述，满足题意的△ABC共有3个．………………14分10．（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数．非负整数01,,,naaa均小于p，且满足012201213,2015.nnnaaaaaapapap++++=++++=求素数p．解由题设可得2121)(1)(1)2002nnapapap−+−++−=（，于是1p−是2002271113=×××的正约数．………………4分若2p=，则()102naaa是2015的二进制表示，因为()2201511111011111=，而111110111111113++++++++++=≠，矛盾．………………6分若2p，则p是奇数，于是1p−是偶数，127,211,213,2711,2713,21113,271113p−=××××××××××××，又p是素数，故p只可能是3,23,2003．………………8分若3p=，则()103naaa是2015的三进制表示，因为()320152202122=，而22120221113+++++++=≠，矛盾．………………10分若23p=，则()1023naaa是2015的23进制表示，因为22015323182314=×+×+，而1418313++≠，矛盾．………………12分若2003p=，则()102003naaa是2015的2003进制表示，因为20151200312=×+，而11213+=，满足题设条件．综上所述，欲求的素数p为2003．………………14分11．（本题满分16分）如图，已知△ABC的面积为1，过△ABC内一点O分别引三条边的平行线,,DEFGHI，点,,,,,DEFGHI均在△ABC的边上，求六边形DGHEFI的面积的最小值．解由题设，四边形AGOH，四边形BIOD，四边形CEOF均为平行四边形．又由题设知，△GDO∽△ABC，△OIF∽△ABC，△HOE∽△ABC，而相似三角形的面积比等于相似比的平分，于是222GDOOIFHOEABCABCABCSSSDOIFOESSSBCBCBC∆∆∆∆∆∆++=++222BIIFFCBCBCBC=++21133BIIFFCBCBCBC≥++=，从而13GDOOIFHOESSS∆∆∆++≥．………………10分所以()12AGHBIDCEFAGOHBIODCEOFSSSSSS∆∆∆++=++1111(())(1)2233ABCGDOOIFHOESSSS∆∆∆∆=−++≤−=，故()DGHEFIABCAGHBIDCEFSSSSS∆∆∆∆=−++12133≥−=，………………14分当O为△ABC的重心时，上述不等式等号成立．所以，六边形DGHEFI的面积的最小值为23．………………16分GIHFEDOCBA12．（本题满分16分）设n是正整数，数列12:,,,nAaaa是由数0或1组成的数列，即0ka=或1(1)kn≤≤．（1）若3n≥，由数列A定义另一个数列////12:,,,nAaaa，其中11/110,,1,kkkkkaaaaa−+−+==≠若若，1,2,,kn=，这里011,nnaaaa+==．求使得/1,1,2,,kkaakn+==的所有数列A．（本小题只需写出结果，不需解题过程）（2）求使得12naaa+++除以4余3的数列A的个数．解（1）数列:1,1,,1A；当n是3的倍数时，数列A还有如下三个解：:0,1,0,0,1,0,,0,1,0A；:0,0,1,0,0,1,,0,0,1A；:1,0,0,1,0,0,,1,0,0A．………………4分（2）设,,,nnnnxyzu分别表示12naaa+++除以4余数为0,1,2,3的数列A的个数．nx其实表示12,,,naaa中有0个1，4个1，…的数列A的个数，于是04nnnxCC=++．同理，15nnnyCC=++，26nnnzCC=++，37nnnuCC=++．………………6分因为()01221iiiiiinnnnnnnnnnnCCCCxyzu+=++++=+−−，()1ii+innnnnxyzu−=−−，所以(1i)(1i)2innnnyu+−−−=．又13512nnnnnnyuCCC−+=+++=，所以2(1i)(1i)24innnnu−+−−=−．………………12分注意到22(1i)(1i)2i,(1i)(1i)4i+−−=+−−=，3344(1i)(1i)4i(1i)(1i)0+−−=+−−=，，及44(1i)(1i)4(1i)(1i),1,2,kkkkk+++−−=−+−−=，所以111(4)2i,43,(4)4i,42,(1i)(1i)1,2,.(4)4i,41,0,4,kknnknknkknknk−−−−⋅=−−⋅=−+−−==−⋅=−=若若若若于是有451234412243122422(1)2,43,2(1)2,42,2(1)2,41,2,4.kkkkkknkkkknknkunknk−−−−−−−−−−−−⋅=−−−⋅=−==−−⋅=−=若若若若………………16分