全国高中数学联赛模拟试题9

全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n、s是整数．若不论n是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s的集合是（A）奇数集（B）所有形如6k+1的数集（C）偶数集（D）所有形如4k+3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A）16966（B）16975（C）16984（D）170093、非常数数列{ai}满足02121iiiiaaaa，且11iiaa，i=0,1,2,…,n．对于给定的自然数n，a1=an+1=1，则10niia等于（A）2（B）1（C）1（D）04、已知、是方程ax2+bx+c=0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，2是实数，则59851kk的值是（A）1（B）2（C）0（D）3i5、已知a+b+c=abc，abbaaccabccbA222222111111，则A的值是（A）3（B）3（C）4（D）46、对xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有211nnxnii，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是（A）4（B）6（C）8（D）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An-1An的距离为hn-1，到直线AnA1的距离为hn．若存在点P使nnhahaha2211（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a的最小值是．3、已知2cos22sin2,22aaaaaF，a、∈R，a≠0．那么，对于任意的a、，F(a,)的最大值和最小值分别是．4、已知t＞0，关于x的方程为22xtx，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z，则满足上述要求的两个最小的正整数n是．6、任给一个自然数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求最小最大SS之值．四、（20分）数列{an}定义如下：a1=3，an=13na（n≥2）．试求an（n≥2）的末位数．五、（20分）已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．证明：2713≤a2+b2+c2+4abc＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CBDCCC二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32，32；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．