高中数学竞赛典型题目(二)

数学竞赛典型题目（二）1.（1994年伊朗数学奥林匹克）设a、b、c、S分别为锐角三角形ABC的三边的边长及它的面积。证明在三角形ABC内存在一点P，由P到顶点A、B、C的距离为x、y、z的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a、y、z及其面积为S1，第二个的边长分别是b、z、x及其面积为S2，第三个的边长分别是c、x、y及其面积为S3及S=S1+S2+S3。2.（1995年伊朗数学奥林匹克）假设ABCD为一正方形及K、N分别在线段AB和AD的点使得AKxAN=2BKxDN.设L和M分别为对角线BD与CK及CN的交点。证明K、L、M、N和A五点共圆。（1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C三点在圆O上,线CO交AB于D且BO交AC于E,如果,,BACCDEADE角度都是,求.（1995年伊朗数学奥林匹克）ABC内切圆和边AB,AC及BC交于M,N,P,证明:MNP垂心,ABC外心和内心三点共线.3.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC中，60A，O、H、I、'I分别为外心、垂心、内心和关于A的旁心.'B和'C分别在AC和AB上，且'.,'ACACABAB证明：（1）八点B、C、H、O、I、'I、'B、'C共圆；（2）若OH交AB、AC分别于E、F，则AEF周长等于.ACAB（3）.ACABOH4.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC为不等边三角形，从A、B、C出发的中线交外接圆于另一点L、M、N.若.LNLM证明：.2222ACABBC5.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC中，D在AB上，E在AC上，且DE//BC.P为ABC内任一点，PB和PC交DE分别于F、G.若1O为PDG外心，2O为PFE外心，证明：.21OOAP6.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC边BC的中点是N,以AB和AC为直角边向外构造等腰直角ACPABM,,证明:MNP也是等腰直角三角形.7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB的圆上有两点C,D,直线CD交AB于M,且MBMA,MDMC,K是AOC和DOB外接圆的交点(不是O),证明:OKMK即有向角090MKO8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC外心为O,垂心为H,且BCCA,F为高CH的垂足,过F作OF的垂线交AC于P,证明:有向角BACFHP9.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC外接圆弧AB上有一个动点(不包含A),21,II分别为PACPAB,的内心,证明:(1)21IPI的外接圆是否过定点?(2)以21II为直径的圆过定点.(3)21II中点在定圆上.10.(1998年伊朗数学奥林匹克)KL和KN是圆C的切线，切点是L，N，M为KN延长线上一点，KLM的外接圆交圆C的另一交点为P，点Q是N向ML所引垂线的垂足，证明：KMLMPQ211.(1998年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC的高是AD，角B和C的内角平分线交AD于点E，F；若BE=CF，证明：ABC是等腰三角形。12.(1998年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC中，AD，BE，CF是高，过D作EF的平行线交AC于Q，交AB于R，直线BC交EF于P，证明：PQR外接圆过BC中点。13.(1998年伊朗数学奥林匹克)ABC和XYZ中ZXABCYZABCYZCABXYCABXYBCAZXBCA212121,,,,,证明：YXABZYBCXZCACABBBCAAABCC21212121212114.(1998年伊朗数学奥林匹克)ABC中BC延长线上点D满足CD=AC，ACD外接圆交以BC为直径的圆于另一点P，BP交AC于E，BP交AB于F，证明：D，E，F三点共线。15.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC内心为I，AI交ABC的外接圆于D.从I向BD和CD引垂线，垂足为E、F.若.2ADIFIE求.BAC16.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC中，.ABCABC在BC上有一点D,BA上有一点E使.ACBEBDBED外接圆交AC于P,直线BD交ABC外接圆于Q.证明：.BPQCAQ17.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC中，BAC角平分线交BC于D.设W是与BC相切于D且过A点的圆,M为AC与W第二个交点,P为BM与W第二个交点,证明：P位于ABD一条中线上.18.（1999年伊朗数学奥林匹克）圆W过ABC的顶点A、C，边AB和BC交W于D、E.令r为EBD内切圆，S为圆心.若r切弧DE于M.证明：AMC平分线过ABC内心.19.(2000年伊朗数学奥林匹克)圆1O和圆2O交于A，B，半径BOBO21,所在直线分别交圆1O和圆2O于点F，E，过B作EF的平行线交圆1O和圆2O分别于M，N，证明：AFAEMN21.(2000年伊朗数学奥林匹克)两圆交于A，B，直线l过A交两圆分别于C，D；M，N分别为BC和BD的中点（两条险段都不含点A）K是CD的中点，证明：有向角90MKN22.(2000年伊朗数学奥林匹克)以321AAA的边为底边向外作等腰321213,OAAOAA，令1O是321AAA外一点，且23123121AOAAAO，23132121AOAAAO，证明：3211OOOA；若T是1O关于直线32AA的对称点。则32132112AATOOOOA23.(2000年伊朗数学奥林匹克)圆O的半径为R，直线d和圆O相离，点M，N在d上，且以MN为直径的圆和圆O相切，证明：存在点P使MPN是定角。24.（2001年伊朗数学奥林匹克）ABC中，B在AC上，D在AE上，F为CD和BE的交点.若.DFADBFAB证明：.EFAECFAC25.（2001年伊朗数学奥林匹克）O为ABC外心，H为垂心，ABC九点圆是过各边中点、各边高的垂足AH、BH、CH中点的圆.令N为圆心，'N为一点满足NBCBAN'，.'NACABN令OA中垂线交BC于'A.同样定义'B和'.C证明：'A、'B、'C共线，且这条直线垂直于'.ON26.（2001年伊朗数学奥林匹克）I为ABC内心，aI为关于A的旁心.若IaI交BC及ABC的外接圆分别于'A和M，N为外接圆弧MBA中点，直线NI和NaI交外接圆分别于S、T.证明：S、T、'A共线.27.(2002年伊朗数学奥林匹克)ABC的外接圆为O，平行于BC的直线交AB，AC于点E，F，交圆O于U，V，令M是BC的中点，圆'O是UMV的外接圆，且两个圆的半径相等，ME交圆'O于T，且FT交圆'O于S，证：EF和MCS的外接圆相切。28.(2002年伊朗数学奥林匹克)ABC的角平分线是AD，若AB+AD=CD，AC+AD=BC，求ABC的角。29.(2002年伊朗数学奥林匹克)圆21,CC相切于K，且与圆O分别切于M，N，圆21,CC外公切线叫圆O于A，B，AK，BK分别交圆O于E，F，若AB为圆O的直径，证明：EF，MN，OK三线共点。30.(2002年伊朗数学奥林匹克)ABC的边Bc上的点M，N，点M在BN上且BM=CN，P,Q分别在AN，AM上，且有向角NACQNBMABPMC,，证明：有向角PCBQBC31.(2002年伊朗数学奥林匹克)ABC内心为I，内切圆切AB，AC分别于X，Y，XI交内切圆于M，CM和AB交于'X，L是线段CX'上的点，且CMLX'，证明：A，L，I共线当且仅当AB=AC。32.(2002年伊朗数学奥林匹克)AB，AC为圆O的切线，直线l为圆O的任意切线，交AB，AC分别于点P，Q，过P作AC的平行线交BC于R，证明：l改变时，QR过定点。33．(2002年伊朗数学奥林匹克)ABC关于点A的旁切圆切BC于点P，AP交ABC外接圆于点D，证明：PBDPCD,的内切圆半径相等。34.(2002年伊朗数学奥林匹克)A，B，C在圆O上，I是ABC内心，D是弧BAC的中点，圆W和AB，AC相切并与圆O切于点P（W在圆O内），证明：P，I，D共线。35．（2002伊朗选拔赛）ABCD是凸四边形，连接其对角线将他分成4部分，对角线的交点是P，4321,,,IIII是三角形PAD，PAB，PBC，PCD的旁心（相应于P点），证明：4321,,,IIII共圆等价于ABCD有内切圆。36．（2002伊朗选拔赛）从ABC内一点O向BC，CA，AB因垂线，垂足是111,,CBA，证明：O是ABC外心的充要条件是ABC周长不小于111111,,BCAABCCAB的周长。37．（2002伊朗选拔赛）ABC内切圆且BC于'A，'AA交内切圆于另一点P，CP，BD交内切圆于另一点N，M，证明：CMBNAA,,'共点。38.(2003年伊朗数学奥林匹克)ABCD是凸四边形，P，Q分别在BC，DC上，且PAQBAP，证明：ABPADQ,面积相等的充要条件是过两个三角形垂心的直线和AC垂直。39.(2003年伊朗数学奥林匹克)XOY的边OX，OY有动点A，B，且kOBOA111，以OA，OB为直径画两个圆，证明：这些圆的外公切线与定圆相切。40.(2003年伊朗数学奥林匹克)ABC内切圆分别切边BC，CA，AB于点111,,CBA，M，N分别为11,ACAB中点，MN交11CA于T，过T作圆的切线TP，TQ，PQ交MN于L，11CB交BQ于K，若I为内心，证明：IK平行于AL。41．(2003年伊朗数学奥林匹克)AB是定线段，求最大的n使得平面上存在n个点nPPP,,,21满足)1(niABPi都相似，并且证明所有的iP点共圆。42.(2003年伊朗数学奥林匹克)四面体ABCD的四个面的外接圆半径相等，证明：AB=CD，AC=BD，AD+BC。43.(2003年伊朗数学奥林匹克)ABC边BC上有一点M，11,CB分别是AB，AC上的点，且11,MCMCMBMB，H，I分别为ABC垂心和11CMB内心，证明：11,,,,CIHBA共圆。44.(2003年伊朗数学奥林匹克)A，B是定点，直线l过定点C，过A，B的两个圆切直线l于M，N，证明：AMN外接圆过定点。45.(2003年伊朗数学奥林匹克)A，B，C，Q是定点，M，N，P分别是AQ，BQ，CQ和BC，CA，AB的交点，''',,FED是ABC内切圆和BC，CA，AB的切点，从M，N，P向内切圆作切线（不是三角形的边）形成DEF，证明：''',,FFEEDD交于点Q。46.(2003年伊朗数学奥林匹克)圆21,CC交于点P，从点P任意作直线交圆21,CC于B，C，求A的轨迹，其中ABC的中线AM长为定值k。47.(2003伊朗选拔赛)设E为已知椭圆，1B是E外任意一点.过1B作E的切线，记切点为.1C2B是直线1B1C上的点，且1B1211iBBCC是对iB进行类似操作而得的点.证明：}{iB在平面上是有界的.48.（2003年伊朗选拔赛）设与ABC的外接圆内切并与边AB、AC相切的圆为aC，记ar为圆aC的半径，r是ABC的内切圆半径.类似地定义br、.cr证明：arbr.4rrc49.（2003年伊朗选拔赛）ABC的外接圆的圆心为O，'A是边BC的中点，'AA与外接圆交于点''A，AOQAa'，点aQ在AO上，过点''A的外接圆的切线与aQA'相交于点.aP用同样的方式，可以构造点bP和.cP证明：aP、bP、cP三点共线.50.(2004年伊朗数学奥林匹克)P是边长为nlll,,,21的n边形，且所有的顶点共圆，求证：不存在同样边长的n边形其面积超过P。51.(2004年伊朗数学奥林匹克)O为ABC的外心，过O的直线分别交AB，AC于M，N，令S，R分别为BN，CM中点，证明：有向角BACROS52.(2004年伊朗数学奥林匹克)延长锐角ABC