对2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第三题的完整解答

对２０１４年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第三题的完整解答北京丰台二中　　１０００７１　　甘志国　　文献［１］，［２］，［３］均给出了２０１４年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题及其解答（且两者完全相同），笔者发现其解答有误，下面给出这道赛题的完整解答．赛题　（２０１４年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题）已知动点Ａ、Ｂ在椭圆ｘ２８＋ｙ２４＝１上，且线段ＡＢ的垂直平分线始终过点Ｐ（－１，０）．（１）求线段ＡＢ中点Ｍ的轨迹方程；（２）求线段ＡＢ长度的最大值．解　（１）ⅰ）显然，当ＡＢ⊥ｘ轴时满足题意，得此时线段ＡＢ中点Ｍ的轨迹方程是ｙ＝０（－２２＜ｘ＜２２）．ⅱ）当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，可设点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２），Ｍ（ｘ０，ｙ０），得ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０，ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０．由点Ａ、Ｂ均在椭圆ｘ２８＋ｙ２４＝１上，可得ｘ２１８＋ｙ２１４＝１，ｘ２２８＋ｙ２２４＝１，把它们相减后，可得ｘ０（ｘ１－ｘ２）＝－２ｙ０（ｙ１－ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）．若ｙ０＝０，得ｘ０＝０，所以点Ｍ即坐标原点Ｏ（０，０）．再由线段ＡＢ的垂直平分线过点Ｐ（－１，０），得ＡＢ⊥ｘ轴，这与“ＡＢ与ｘ轴不垂直”矛盾！所以ｙ０≠０，得ｘ０≠０，再得　　ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０２ｙ０≠０①又线段ＡＢ的垂直平分线过点Ｐ（－１，０），得ｋＡＢ·ｋＰＭ＝－１，即－ｘ０２ｙ０·ｙ０－０ｘ０＋１＝－１，　　　　　　　ｘ０＝－２．②再由弦ＡＢ的中点Ｍ（ｘ０，ｙ０）即Ｍ（－２，ｙ０）在椭圆ｘ２８＋ｙ２４＝１内，可得（－２）２８＋ｙ２０４＜１（ｙ０≠０）　　０＜ｙ０＜２③综上所述可得所求轨迹方程是：ｙ＝０（－２２＜ｘ＜２２）或ｘ＝－２（０＜ｙ＜２）．（２）ⅰ）当ＡＢ⊥ｘ轴时，当且仅当线段ＡＢ是已知椭圆的短轴时，ＡＢｍａｘ＝４．ⅱ）当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，可设线段ＡＢ中点Ｍ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０≠０），再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）．由①②得ｋＡＢ＝１ｙ０，所以直线ＡＢ的方程是ｙ－ｙ０＝１ｙ０（ｘ＋２）．由ｙ－ｙ０＝１ｙ０（ｘ＋２），ｘ２８＋ｙ２４＝１ìîíïïïïï得（ｙ２０＋２）ｘ２＋４（ｙ２０＋２）ｘ＋２ｙ４０＋８＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝－４，ｘ１ｘ２＝２ｙ４０＋８ｙ２０＋２，由弦长公式，得ＡＢ＝ｋ２ＡＢ＋１ｘ１－ｘ２＝（ｋ２ＡＢ＋１）［（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］＝…＝２２·５－ｙ２０＋２＋４ｙ２０＋２æèçöø÷由③，得２＜ｙ２０＋２＜４，所以可得ＡＢ的取值范围是（０，２２）．所以线段ＡＢ长度的最大值是４．参考文献［１］　中国数学会普及工作委员会组编．２０１５高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）［Ｚ］．上海：华东师范大学出版社，２０１４［２］　吴中麟提供．２０１４年全国高中数学联赛江苏赛区复赛［Ｊ］．中等数学，２０１５（３）：３４－３８［３］　武增明．解析几何中两动点间的距离的最值类型［Ｊ］．中学数学杂志，２０１６（１）：３６－３９３６中学数学杂志　２０１６年第５期　　　　　　　　　　　　　　　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ