2008学年度第一学期高三数学开学检测(理)

北京四中2007－2008学年度第一学期高三数学开学检测（理）(试卷满分150分，时间120分钟)一、选择题：(每小题5分，共40分)1.函数的单调递增区间是()(A)(B)(C)(D)2.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为()(A)1(B)-1(C)2(D)-23.以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线。其中正确的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)44.若直线l1：y=x与直线l2：y=ax+b(a,b为实数)夹角的范围为时，则a的取值范围是()(A)(B)(0,1)(C)(D)5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，EF与对角面A1C1CA所成角为()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是()(A)(B)(C)2(D)47.全集为R，集合,若ab0，则有()(A)(B)(C)M=E∪F(D)M=E∩F8.将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为P，则a、p的值分别为()(A)a=210(B)a=210(C)(D)a=105二、填空题：(每小题5分，共30分)9.长方体共顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是______；10.若实数x、y满足条件,则目标函数z=2x+y的最大值为_____；11.随机变量ξ的概率分布规律为，其中a是常数，则a=______________，；12.若展开式的第7项为13.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，若Φ(-1.96)=0.025，则P(|ξ|1.96)=______；14.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x∈[a，b]，均有|f(x)-g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是接近的，若函数y=x2-3x+2与函数y=2x-3在区间[a，b]上接近，则该区间可以是____。三、解答题：(本大题有6个小题，共80分)15.(本小题13分)解关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(a∈R)16.(本小题13分)已知：f(x)=x2-x+m(m∈R)且f(log2a)=m，log2f(a)=2，a≠1(1)求：f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)求：不等式f(log2x)f(1)的解。17.(本小题13分)已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2，(Ⅰ)E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；(Ⅱ)求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；(Ⅲ)求：点D1到平面EAB的距离。18.(本小题13分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。(Ⅰ)求：事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(Ⅱ)求：η的分布列及期望Eη。19.(本小题14分)已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是(1)求：椭圆方程；(2)若直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值。20.(本小题14分)已知：函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根。(1)求证：-3c≤-1且b≥0;(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明。参考答案：一、选择题题号12345678答案ADBCAABC二、填空题91021112130.9514[1,2]或[3,4]或填它们的任一子区间三、解答题15.解：(1)当a=0时，-(x+1)0，即：x-1(2)当a0时，(3)当a0时，①-1a0，;②a=-1，无解；③a-1，16.解：(1)∵f(log2a)=m，∴log2a=1或log2a=0，即a=2或a=1(舍)∵a=2，∴f(a)=f(2)=2+m∴log2f(a)=log2(2+m)=2,∴m=2∴当(2)由(1)知：f(log2x)f(1)即为：则有log2x1或log2x0，∴x2或0x117.(1)证明：连结A1C1，∵AA1⊥平面A1C1，∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1∴B1D1⊥AE(2)连结BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连结OF∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角在正方形ABCD中，在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，在Rt△BOF中，(3)过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，∵AB⊥平面BC1，∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE，∵D1C1∥AB，∴D1C1∥平面ABE，∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离∵△C1GE∽△BCE，∴D1到面ABE的距离等于((3)中可用等积法，作对一样给分)18.解：(Ⅰ)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”(Ⅱ)η的可能取值为200元，250元，300元P(η=200)=P(ξ=1)=0.4P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2η的分布列为η200250300P0.40.40.2Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元)19.解：(1)设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：∵椭圆的一个顶点是∵离心率为∵a2=b2+c2,∴a2=20,b2=5∴椭圆方程：(2)∵椭圆方程：∴左右焦点为联立方程即：2y2-2my+m2-5=0∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m2-8(m2-5)0，即:由题知：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积20.解：(1)又cb1，故方程f(x)+1=0有实根，即x2+2bx+c+1=0有实根，故△=4b2-4(c+1)≥0即又cb1，得-3c≤-1，由(2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-10∴cm1∴c-4m-4-3c∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)0∴f(m-4)的符号为正。