专训2 三角形的三种重要线段的应用

专训2三角形的三种重要线段的应用名师点金：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段．三角形的高的应用类型1：找三角形的高1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．(第1题)类型2：作三角形的高2．(动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)(第2题)类型3：求与高相关线段的问题3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)AD∶BE的值．(第3题)类型4：证与高相关线段和的问题4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.(第4题)类型5：求与高有关的面积5．【2016·淄博】如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影部分的面积是()21教育网A．3B．4C．5D．6(第5题)(第6题)(第7题)三角形的中线的应用类型1：求与中线相关线段的问题6．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．67．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()【版权所有：21教育】A．40B．46C．50D．568．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．21*cnjy*com类型2：求与中线相关的面积问题9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(第9题)(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的式子表示)；2·1·c·n·j·y(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的式子表示)，请说明理由；(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的式子表示)．三角形的角平分线的应用类型1：三角形角平分线定义的直接应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有______________________；【(2)如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．2(第10题)类型2：三角形的角平分线与高相结合求角的度数11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．(第11题)类型3：求三角形两内角平分线的夹角度数12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．(第12题)答案1．AB；DC2．解：如图．(第2题)3．解：(1)S△ABC＝12BC·AD＝12×4×4＝8.因为S△ABC＝12AC·BE＝12×5×BE＝8，所以BE＝165.(2)AD∶BE＝4∶165＝54.4．证明：连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AC·BG＝12AB·DE＋12AC·DF.又因为AB＝AC，所以DE＋DF＝BG.点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．5．B点拨：设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为h1，△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2.S△ABC＝12BC·h＝16，S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝12GH·h1＋12GH·h2＝12GH·(h1＋h2)＝12GH·h.∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝14BC，∴GH＝BD＝14BC.∴S阴影＝14×12BC·h＝14S△ABC＝4.故选B.6．A7．A点拨：因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.故选A.8．解：设AD＝CD＝xcm，则AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.依题意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.当x＝5时，三边长为10cm，10cm，1cm；当x＝2时，三边长为4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，故不成立．所以这个等腰三角形的三边长为10cm，10cm，1cm.9．解：(1)a(2)2a理由：连接AD，由题意可知S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.(3)6a10．解：(1)△ABC和△ADF(2)因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3.所以AE是△DAF的角平分线．11．解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝12∠BAC＝12×100°＝50°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.点拨：灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．12．解：(1)因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝60°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.(2)因为∠A＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.21(3)因为∠A＝α，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝90°－12α，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－90°－12α＝90°＋12α.点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含α的式子表示．