生产与服务运作管理中的优化问题

优化建模生产与服务运作管理中的优化问题优化建模与LINDO/LINGO软件第5章优化建模内容提要§5.1生产与销售计划问题§5.2有瓶颈设备的多级生产计划问题§5.3下料问题§5.4面试顺序与消防车调度问题§5.5飞机定位和飞行计划问题优化建模§5.1生产与销售计划问题优化建模§5.1.1问题实例•例5.1某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。优化建模§5.1.2建立模型问题分析安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油A的支出之差。这里的难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。优化建模模型建立设原油A的购买量为x（吨），根据题目所给数据，采购的支出c(x)可表为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）：500)1(1000630001000)(50081000500)(010)(xxxxxxxc(1)设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x11和x12（吨），原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x21和x22（吨），则总的收入为4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)（千元）。于是本例的目标函数（利润）为)()(6.5)(8.422122111xcxxxxzMax(2)优化建模约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制，和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制，它们表示为xxx5001211（3）10002221xx（4）1500x（5）5.0211111xxx（6）6.0221212xxx（7）0,,,,22211211xxxxx（8）由于（1）式中的c(x)不是线性函数，（1）~（8）给出的是一个非线性规划。而且，对于这样用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能不能想办法将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？优化建模§5.1.3求解模型3种解法第1种解法将原油A的采购量x分解为三个量，即用x1，x2，x3分别表示以价格10、8、6千元/吨采购的原油A的吨数，总支出为c(x)=10x1+8x2+6x3，且321xxxx(9)这时目标函数（2）变为线性函数：)6810()(6.5)(8.432122122111xxxxxxxzMax(10)应该注意到，只有当以10千元/吨的价格购买x1=500（吨）时，才能以8千元/吨的价格购买x2（0），这个条件可以表示为0)500(21xx(11)优化建模同理，只有当以8千元/吨的价格购买x2=500（吨）时，才能以6千元/吨的价格购买x3（0），于是0)500(32xx(12)此外，x1，x2，x3的取值范围是500,,0321xxx(13)优化建模由于有非线性约束(11),(12)，(3)~(13)构成非线性规划模型。LINGO程序：Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x221000;0.5*x11-0.5*x210;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;@bnd(0,x1,500);@bnd(0,x2,500);@bnd(0,x3,500);end优化建模将文件存储并命名为exam0501a.lg4，执行菜单命令“LINGO|Solve”，运行该程序得到：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:4800.000Totalsolveriterations:26VariableValueReducedCostX11500.00000.000000X21500.00000.000000X120.0000000.000000X220.0000000.000000X10.0000000.000000X20.0000000.000000X30.0000000.000000X0.0000000.000000优化建模最优解:用库存的500吨原油A、500吨原油B生产1000吨汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800（千元）但是此时LINGO得到的结果只是一个局部最优解可以用菜单命令“LINGO|Options”在“GlobalSolver”选项卡上启动全局优化（UseGlobalSolver）选项，然后重新执行菜单命令“LINGO|Solve”,得到：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.002Extendedsolversteps:3Totalsolveriterations:187优化建模VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2499.99900.000000X30.9536707E-030.000000X1000.0000.000000此时LINGO得到的结果是一个全局最优解（Globaloptimalsolution）：购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，共生产2500吨汽油乙，利润为5000（千元），高于刚刚得到的局部最优解对应的利润4800（千元）。优化建模第2种解法:引入0-1变量将（11）和（12）转化为线性约束令y1=1，y2=1，y3=1分别表示以10千元/吨、8千元/吨、6千元/吨的价格采购原油A，则约束（11）和（12）可以替换为112500500yxy223500500yxy33500yx(14)(15)(16)y1，y2，y3=0或1(17)优化建模（3）~（10），（13）~（17）构成混合整数线性规划模型，将它输入LINDO软件：优化建模Max4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10x1-8x2-6x3stx-x1-x2-x3=0x11+x12-x500x21+x2210000.5x11-0.5x2100.4x12-0.6x220x1-500y10x2-500y20x3-500y30x1-500y20x2-500y30endinty1inty2inty3优化建模运行该程序得到：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000这个结果与前面非线性规划模型用全局优化得到的结果相同。优化建模第3种解法直接处理分段线性函数c(x)。（1）式表示的函数c(x)如图5-1。c(x)x1200090005000050010001500图5-1分段线性函数c(x)图形优化建模记x轴上的分点为b1=0,b2=500,b3=1000,b4=1500。当x在第1个小区间[b1,b2]时，记x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2≥0,因为c(x)在[b1,b2]是线性的，所以c(x)=z1c(b1)+z2c(b2)。同样，当x在第2个小区间[b2,b3]时，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3≥0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3)。当x在第3个小区间[b3,b4]时，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4≥0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4)。为了表示x在哪个小区间，引入0-1变量yk(k=1,2,3)，当x在第k个小区间时，yk=1，否则，yk=0。这样,z1,z2,z3,z4,y1,y2,y3应满足3432321211,,,yzyyzyyzyz)4,3,2,1(0,14321kzzzzzk10,,,1321321或yyyyyy(18)(19)(20)优化建模此时x和c(x)可以统一地表示为4324433221115001000500zzzbzbzbzbzx（2）~（10），（18）~（22）也构成一个混合整数线性规划模型，可以用LINDO求解。不过，我们还是将它输入LINGO软件，因为其扩展性更好（即当分段函数的分段数更多时，只需要对下面程序作很小的改动）。输入的LINGO模型如下：432443322111200090005000)()()()()(zzzbczbczbczbczxc(22)优化建模输入的LINGO模型如下：Model:SETS:Points/1..4/:b,c,y,z;!端点数为4，即分段数为3;ENDSETSDATA:b=050010001500;c=05000900012000;y=,,,0;!增加的虚拟变量y(4)=0;ENDDATA优化建模Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-@sum(Points:c*z);x11+x12x+500;x21+x221000;0.5*x11-0.5*x210;0.4*x12-0.6*x220;@sum(Points:b*z)=x;@for(Points(i)|i#eq#1:z(i)=y(i));@for(Points(i)|i#ne#1:z(i)=y(i-1)+y(i));@sum(Points:y)=1;@sum(Points:z)=1;@for(Points:@bin(y));end优化建模求解，得到的结果如下（略去已知参数b和c的显示结果）：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:28优化建模VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000001.600000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1000.0000.000000Y(1)0.000000-4600.000Y(2)0.000000-1200.000Y(3)1.0000000.000000Y(4)0.0000000.000000Z(1)0.0000000.000000Z(2)0.0000000.000000Z(3)1.0000000.000000Z(4)0.000000200.0000优化建模可见，得到的最优解和最优值与第2种解法相同。备注这个问题的关键是处理分段线性函数，我们推荐化为整数线性规划模型的第2,3种解法，第3种解法更具一般性，其做法如下。设一个n段线性函数f(x)的分点为11nnbbb引入zk将x和f(x)表示为1