2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定作业设计 （

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.1.3正方形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1.下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列命题，真命题是（）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D.两条对角线平分且相等的四边形是正方形3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形5.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD6.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）2A.22.5°角B.30°角C.45°角D.60°角7.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC8.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A.（1）（2）（5）B.（2）（3）（5）C.（1）（4）（5）D.（1）（2）（3）9.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A.①④⇒⑥B.①③⇒⑤C.①②⇒⑥D.②③⇒④10.下列说法中错误的是（）A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.四条边相等的四边形是正方形11.矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A.一定是正方形B.是矩形C.菱形D.只能是平行四边形二、填空题（本题包括2个小题）12.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．13.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．三、解答题（本题包括6个小题）14.如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．315.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．16.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．418.如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．19.如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）5答案一、选择题1.【答案】B【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选A．考点：直角三角形，二次根式，平面直角坐标系，正方形，三角形全等2.【答案】C【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．3.【答案】B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4.【答案】D【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符6合题意是D选项；故选D．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．5.【答案】D【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D．6.【答案】C【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．7.【答案】C【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．8.【答案】A【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．9.【答案】C【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．考点：1．正方形的判定；2．菱形的判定；3．矩形的判定．10.【答案】D【解析】A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．11.【答案】A【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°.又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形.故选A．点睛：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．考点：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．二、填空题12.【答案】AC=BD或AB⊥BC．【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还7需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．13.【答案】等腰直角三角形，等腰三角形，直角三角形【解析】∵正方形的四边相等，四角为直角，∴正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成.∵菱形的四边相等，∴菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成，∵矩形的四角为直角，∴矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成．三、解答题14.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD（ASA），∴CE=CF；（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．（1）证明：∵CD垂直平分线AB，∴AC=CB．∴△ABC是等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°∴∠EDC=∠FDC，在△DEC与△DFC中，，∴△DEC≌△DFC（ASA），∴CE=CF．（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，∵CD=AB，∴CD=BD=AD，∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，∴∠ACB=90°，∴四