2018-2019学年高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 新人教B版选修2-3

-1-3.2回归分析首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法.4.了解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、回归直线方程对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),回归直线方程为𝑦^=𝑎^+𝑏^x,其中𝑏^=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-n𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-n𝑥2,𝑎^=𝑦-𝑏^𝑥.思考1现实生活中的两个变量有哪些关系?线性回归模型是用来刻画哪类变量间的模型?提示:现实生活中的两个变量关系主要有确定性关系与非确定性关系,线性回归模型是用来刻画非确定性关系的模型.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二思考2回归分析中,利用线性回归方程求出的函数值是否一定为真实值?提示:不一定是真实值,利用线性回归方程求的值,在很多时候是个预报值.例如,人的体重与身高存在一定的线性关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食、是否喜欢运动等.思考3线性回归方程能否用散点图中的某两点来确定?提示:不能用散点图中过某两点的直线方程来作为线性回归方程.由散点图易发现,样本点散布在某一条直线附近,而不是一条直线上,不能用一次函数y=bx+a描述它们之间的关系,因此用线性回归模型y=bx+a+e来表示,其中a,b可以由最小二乘法估计𝑎^,𝑏^,就是a,b的估计值.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、相关性检验对于变量x与Y随机抽取到的n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),检验统计量是样本相关系数r=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-n𝑥𝑦(∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-n𝑥2)(∑𝑖=1𝑛𝑦𝑖2-n𝑦2).r具有以下性质:|r|≤1,并且|r|越接近1,线性相关程度越强;|r|越接近0,线性相关程度越弱.对变量x与Y进行相关性检验分四步:1.作统计假设:x与Y不具有线性相关关系;2.根据小概率0.05与n-2在教材附表中查出r的一个临界值r0.05;3.根据样本相关系数计算公式算出r的值;JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二4.作统计推断.如果|r|r0.05,表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系.如果|r|≤r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是毫无意义的.思考4两个变量具有相关关系和具有函数关系有何区别?提示:相关关系与函数关系不同,因为函数关系是一种确定性的关系;而相关关系是一种非确定性的关系,它包括两种情况:一是两个变量中,一个变量为可控制变量,另一个变量为随机变量;二是两个变量均为随机变量.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.另一方面,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可以是伴随关系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究一线性回归分析作相关性检验,有时也用作散点图的方法,观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近,这样做既直观又方便,因而对解决相关性检验问题比较常用,但在作图中,由于存在误差,有时又很难说这些点是不是分布在一条直线的附近,这时就很难判断两个变量之间是否具有相关关系,这时就必须利用样本相关系数对其进行相关性检验,计算中应该特别细心,不能出现计算的错误.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二【典型例题1】假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:x23456y2.23.85.56.57.0已知∑𝑖=15𝑥𝑖2=90,∑𝑖=15𝑦𝑖2≈140.8,∑𝑖=15xiyi=112.3,79≈8.9,2≈1.4,n-2=3时,r0.05=0.878.(1)求𝑥,𝑦;(2)对x,y进行线性相关性检验;(3)如果x与y具有线性相关关系,求出回归直线方程;(4)假设使用年限为10年时,维修费用约是多少万元?ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二解:(1)𝑥=2+3+4+5+65=4,𝑦=2.2+3.8+5.5+6.5+7.05=5.(2)步骤如下:①作统计假设:x与y不具有线性相关关系;②∑𝑖=15xiyi-5𝑥𝑦=112.3-5×4×5=12.3,∑𝑖=15𝑥𝑖2-5𝑥2=90-5×42=10,∑𝑖=15𝑦𝑖2-5𝑦2=140.8-125=15.8,所以r=12.310×15.8=12.3158=12.32×79≈12.31.4×8.9≈0.987;③|r|=0.9870.878,即|r|r0.05,所以有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系,去求回归直线方程是有意义的.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(3)𝑏^=∑𝑖=15𝑥𝑖𝑦𝑖-5𝑥𝑦∑𝑖=15𝑥𝑖2-5𝑥2=112.3-5×4×590-5×42=1.23.𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥=5-1.23×4=0.08.所以回归直线方程为𝑦^=1.23x+0.08.(4)当x=10时,𝑦^=1.23×10+0.08=12.38(万元),即假设使用10年时,维修费用约为12.38万元.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二点评:求回归直线方程的步骤:(1)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系.(2)把数据制成表,从表中计算出𝑥,𝑦,𝑥12+𝑥22+…+𝑥𝑛2,x1y1+x2y2+…+xnyn的值.(3)计算回归系数𝑎^,𝑏^.(4)写出回归直线方程𝑦^=𝑏^x+𝑎^.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究二非线性回归分析解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定解释变量为x,预报变量为y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)写出非线性回归方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二【典型例题2】为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化,收集数据如下:天数x(天)123456繁殖个数y(个)612254995190(1)用天数x作解释变量,繁殖个数y作预报变量,作出这些数据的散点图.(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系.(3)计算R2𝑅2=1-∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦^𝑖)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2.思路分析:利用散点图分析出拟合函数类型,再进行变换求回归直线,最后别忘了还原回去.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二解:(1)散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=c1e𝑐2x的附近,于是令z=lny,则所有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a,a=lnc1,b=c2的周围,数据可以转化为x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器可求得𝑧^=0.69x+1.112,则有𝑦^=e0.69x+1.112.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(3)y^i6.0612.0924.0948.0495.77190.95yi612254995190𝑦=3776,∑𝑖=1𝑛(yi-𝑦^𝑖)2=3.2568,∑𝑖=1𝑛(yi-𝑦)2≈24642.8,R2=1-3.256824642.8≈0.9999.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是()A.①②B.①③C.②③D.③④解析:①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.有关线性回归的说法,不正确的是()A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直接反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任意一组数据都有回归方程解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为𝑦^=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(𝑥,𝑦)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg解析:D选项中,若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重约为0.85×170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表:x24568Y3040605070若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程为.答案:𝑦^=6.5x+17.5SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.为了考察两个变量Y与x的线性相关性,测得x,Y的13对数据,若Y与x具有线性相关关系,则相关系数|r|的取值范围是.解析:由小概率0.05与13-2=11在教材附表中查得r0.05=0.553,所以Y与x若具有线性相关关系,则相关系数r的取值范围是(0.553,1].答案:(0.553,1]SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点