2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 5 平行关系 5.2 平行关系的性质学案 北师

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.5．2平行关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理．(难点)3．综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．(重点、难点)1.通过用性质定理证明空间线面关系问题提升逻辑推理素养．2．通过运用三种语言描述性质定理培养直观想象能力.1．直线与平面平行的性质定理文字语言符号语言图形语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b思考1：若直线a∥平面α，则直线a一定平行于平面α内的任意一条直线吗？提示：不一定．当a∥α时，过a的任意一个平面与α的交线都与a平行，即a可以与α内的无数条直线平行，但不是任意一条．平面α内凡是不与a平行的直线，都与a异面．2．面面平行的性质定理文字语言符号语言图形语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b思考2：若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，直线a与平面β有怎样的位置关系？直线a与直线b有怎样的位置关系？提示：直线a∥平面β；直线a与直线b平行或异面．1．有一木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，棱BC平行平面A′B′C′D′，要经过点P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为()-2-A．0B．1C．2D．无数B[∵BC∥平面A′B′C′D′，BC∥B′C′，在平面A′B′C′D′上过P作EF∥B′C′(图略)，则EF∥BC，∴沿过EF，BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.]2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A[∵EH∥FG，EH平面BCD，FG平面BCD，∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.]3．六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为__________．平行[∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，∴AB∥CD.]4．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，DEDF＝25，则AC＝________.15[∵α∥β∥γ，∴ABBC＝DEEF.由DEDF＝25，得DEEF＝23，∴ABBC＝23.而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.]线面平行性质的应用【例1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为-3-F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.[解]因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1．直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行．2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．1．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？[解](1)证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形．面面平行性质的应用【例2】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.-4-(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．[思路探究]由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．[解](1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴PAAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154(cm)，∴PD＝PC＋CD＝274(cm)．1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．2．面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行．2．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[解]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，-5-所以AB∥CD.所以PAAC＝PBBD，即69＝8－BDBD.所以BD＝245.平行关系的综合应用[探究问题]1．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由．提示：平行．因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.2．上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论．提示：平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，MN平面PAD，AE平面PAD，所以MN∥平面PAD.【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.[思路探究]连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD[解]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.-6-∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．本例条件不变，GH与平面PAC什么关系？试证明．[解]由例题知PA∥GH，PA平面PAC，GH平面PAC⇒GH∥平面PAC.2．若例题中，将G点取在MB上，上述结论还成立吗？[解]上述结论成立，事实上，G点可以是平面DMB上任一点，上述结论都成立．1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．2．空间平行关系的转化图：1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．3．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．-7-1．思考辨析(1)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α.()(2)如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n.()(3)若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.()[答案](1)√(2)√(3)√2．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．aβ或a∥β[若aβ，则显然满足题目条件．若aβ，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又aβ，cβ，所以a∥β.]3．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．12[两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以PAPB＝ACBD，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.]4．如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.[解]连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.