新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业712复数的几何意义Word版含解析

第七章7.17.1.2A组·素养自测一、选择题1．(2019·海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则(C)A．z＝－1＋iB．z＝1＋iC．z＋i是实数D．z＋i是纯虚数[解析]∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z＝1－i.∴z＋i＝1－i＋i＝1，∴z＋i是实数.故选C．2．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3的对应点所在象限为(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵π23π，∴sin30，cos30，故复数z＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[解析]复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.4．已知0a2，复数z＝a－i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(B)A．(1，3)B．(1，5)C．(1,3)D．(1,5)[解析]|z|2＝a2＋1，∵0a2,0a24⇒1a2＋15，∴1|z|5.故选B．5．(2019·陕西三模)在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足(A)A．－6a0B．a－6C．0a6D．－6a6[解析]∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴5a06－a20，解得－6a0．故选A．二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__－2＋3i__.[解析]∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3).∴z2＝－2＋3i.7．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__5__.[解析]复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得－1－－51－3＝a－－1－2－1.解得a＝5．8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为__|y＋2i||x－yi||1－5i|__.[解析]由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4．而|1－5i|＝1＋52＝26，|x－yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝25.∵25526，∴|y＋2i||x－yi||1－5i|.三、解答题9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上.[解析](1)由m2－2m－150，得知m－3或m5时，z的对应点在x轴上方；(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：m＝－3－414或m＝－3＋414，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上.10．在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点.(1)求向量OA→＋OB→，AC→对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.[解析](1)由已知得OA→，OB→，OC→所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，于是OA→＝(1,4)，OB→＝(0，－3)，OC→＝(2,0)，因此OA→＋OB→＝(1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(1，－4)，故OA→＋OB→对应的复数为1＋i，AC→对应的复数为1－4i.(2)由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为(32，2)，由平行四边形的性质知BD的中点也是(32，2)，若设D(x0，y0)，则有0＋x02＝32，－3＋y02＝2，解得x0＝3，y0＝7，故D(3,7).B组·素养提升一、选择题1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是(C)A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．2．复平面内，向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为(C)A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i[解析]向量OA→向右平移一个单位后起点O′(1,0)，∵OA′→＝OO′→＋O′A′→＝OO′→＋OA→＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A′对应复数2＋i，又O′A′→＝OA→，∴O′A′→对应复数为1＋i.故选C．3．(2020·湖北孝感高二检测)若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(D)A．0B．2C．5D．1[解析]由题意，得a－2＝－1，b＝0，解得a＝1，b＝0，∴a2＋b2＝1．4．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是(ABD)A．在复平面内，z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．在复平面内，z对应的点在实轴上方D．z一定是实数[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A，B，D错误.故选ABD．二、填空题5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝__76＋4i__.[解析]设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝a2＋b2－3b＝－4，所以a＝76b＝－4，所以z＝76＋4i.6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若OZ1→⊥OZ2→，则a＝__98__.[解析]因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以OZ1→＝(4,3)，OZ2→＝(2a，－3).因为OZ1→⊥OZ2→，所以8a＝9，即a＝98.三、解答题7．已知O为坐标原点，OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i(a∈R).若OZ1→与OZ2→共线，求a的值.[解析]因为OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i，所以OZ1→＝(－3,4)，OZ2→＝(2a,1).因为OZ1→与OZ2→共线，所以存在实数k使OZ2→＝kOZ1→，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以2a＝－3k，1＝4k，所以k＝14，a＝－38.即a的值为－38.8．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值.[解析]因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－12，m).又a，b的夹角为60°，所以cos60°＝－3，0·－12，m－32＋02·－122＋m2，即12＝32314＋m2，解得m＝±32.