2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试49 直线的方程 理（含解析）

第七章平面解析几何考点测试49直线的方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3．掌握确定直线位置的几何要素4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系一、基础小题1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是()A．m≠－32B．m≠0C．m≠0且m≠1D．m≠1答案D解析由2m2＋m－3＝0，m2－m＝0，解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．2．直线xsinπ7＋ycosπ7＝0的倾斜角α是()A．－π7B．π7C．5π7D．6π7答案D解析∵tanα＝－sinπ7cosπ7＝－tanπ7＝tan6π7，α∈[0，π)，∴α＝6π7．3．过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为()A．3x－3y＋6＋3＝0B．3x－3y－6＋3＝0C．3x＋3y＋6＋3＝0D．3x＋3y－6＋3＝0答案A解析∵k＝tan30°＝33，∴直线方程为y－2＝33(x＋1)．即3x－3y＋6＋3＝0．故选A．4．已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值为()A．1或3B．1或5C．1或4D．1或2答案C解析由题意可得，(k－3)×2(k－3)＋(5－k)×(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4．故选C．5．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2α3，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D．6．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．7．在平面直角坐标系中，直线l与直线3x＋y－3＝0关于x轴对称，则直线l的倾斜角为()A．π6B．π3C．5π6D．2π3答案B解析直线的斜截式方程为y＝－3x＋3，即直线的斜率k＝tanα＝－3，即α＝2π3，所以直线l的倾斜角为π3，故选B．8．在下列四个命题中，正确的有()①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；③若一直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析当倾斜角α＝90°时，其斜率不存在，故①④不正确；直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)，故②不正确；直线的斜率k＝tan210°这是可以的，此时倾斜角α＝30°而不是210°，故③不正确．故选A．9．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．0，π4B．3π4，πC．0，π4∪π2，πD．π4，π2∪3π4，π答案B解析∵直线的斜率k＝－1a2＋1，∴－1≤k0，则倾斜角的取值范围是3π4，π．10．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点()A．－12，3B．12，3C．12，－3D．－12，－3答案D解析∵当m变动时，(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－12，y＝－3，定点为－12，－3．故选D．11．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A．－∞，－52∪43，＋∞B．－43，52C．－52，43D．－∞，－43∪52，＋∞答案B解析直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵kMA＝3－－2－2－0＝－52，kMB＝2－－23－0＝43，画图可知－a－52且－a43，∴a∈－43，52．12．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．答案1或－2解析显然a＝0不符合题意，当a≠0时，令x＝0，则直线l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2a．依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2．二、高考小题13．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案(2，4)解析由已知得kAC＝6－23－1＝2，kBD＝5－－11－7＝－1，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，①直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②联立①②解得x＝2，y＝4.所以直线AC与直线BD的交点为P(2，4)，此点即为所求点．因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，取异于P点的任一点P′．则|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|．故P点就是到点A，B，C，D的距离之和最小的点．故应填(2，4)．14．(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．答案5解析易知A(0，0)，B(1，3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时取“＝”)．三、模拟小题15．(2018·重庆一诊)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－∞，0)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析∵过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即2a－a－13－1＋a0，即a－12＋a0，解得－2a1，故选A．16．(2018·佛山质检)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()答案B解析当a，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同．故选B．17．(2019·石家庄调研)已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k，2k，则直线l的方程为()A．2x－y－4＝0B．2x－y＋4＝0C．2x＋y－4＝0D．2x＋y＋4＝0答案D解析依题意得直线l过点(k，0)和(0，2k)，所以其斜率k＝2k－00－k＝－2，由点斜式得直线l的方程为y＝－2(x＋2)，化为一般式是2x＋y＋4＝0．故选D．18．(2018·广西南宁三中月考)设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处切线的倾斜角α的取值范围是()A．0，π2∪5π6，πB．2π3，πC．0，π2∪2π3，πD．π2，5π6答案C解析因为y′＝3x2－3≥－3，即切线斜率k≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是0，π2∪2π3，π．19．(2018·江西宜春丰城九中月考)直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为()A．0，12B．[0，1]C．[0，2]D．0，12答案C解析因为直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l过A且平行于x轴时，斜率取得最小值，kmin＝0；当直线l过A(1，2)，O(0，0)时，斜率取得最大值，kmax＝2，所以直线l的斜率的取值范围是[0，2]．故选C．20．(2018·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角，且sinθ＋cosθ＝55，则l的斜率为()A．－12B．－12或－2C．12或2D．－2答案D解析∵sinθ＋cosθ＝55，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sinθcosθ＝－45，∴(sinθ－cosθ)2＝95，易知sinθ0，cosθ0，∴sinθ－cosθ＝355，②由①②解得sinθ＝255，cosθ＝－55，∴tanθ＝－2，即l的斜率为－2，故选D．21．(2018·江苏调研)已知经过点P(3，2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________．答案2x－3y＝0或x＋y－5＝0解析设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0．若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3，2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0．22．(2019·沧州月考)已知直线y＝12x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k．故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以实数k的取值范围是k≥1或k≤－1．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·山西长治月考)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解(1)设点C的坐标为(x，y)，则有x＋52＝0，3＋y2＝0．∴x＝－5，y＝－3，即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M0，－52，N(1，0)，∴直线MN的方程为x－y52＝1，即5x－2y－5＝0．2．(2018·四川达州月考)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A，B两点．(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．解依题意，l的斜率存在，且斜率为负．设l：y－4＝k(x－1)(k0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0，4－k)．(1)|PA|·|PB|＝4k2＋16·1＋k2＝－4k(1＋k2)＝－41k＋k≥8．(注意k0)∴当且仅当1k＝k且k0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0．(2)|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k≥9．∴当且仅当k＝4k且k0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0．3．(2018·福建华安月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时直线l的方程．解(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa＋1＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0．所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．(2)由直线方程可得M2＋aa＋1，0，N(0，2＋a)，因为a－1，所以S△OMN＝12·2＋aa＋1·(2＋a)＝12×[a＋1＋1]2a＋1＝12