（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 6 第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2，则A＝________．解析：由余弦定理直接得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋4－72×3×2＝12，且A∈(0，π)，得A＝π3.答案：π32．在△ABC中，若a＝18，b＝24，∠A＝45°，则此三角形有________个解．解析：因为asinA＝bsinB，所以sinB＝basinA＝2418sin45°，所以sinB＝223.又因为ab，所以角B有两个．答案：两3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝________.解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－13(舍去)．答案：34．(2019·江苏省高考名校联考(三))在△ABC中，已知2asinA＝2(bsinB＋csinC)＋2(csinB＋bsinC)，则角A的值为________．解析：因为2asinA＝2(bsinB＋csinC)＋2(csinB＋bsinC)，所以a2＝b2＋c2＋2bc，即cosA＝b2＋c2－a22bc＝－22，得A＝3π4.答案：3π45．在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则sinA＝________.解析：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝AD2＋DC2＝5AD.由正弦定理，知ACsinB＝BCsinA，即5AD22＝3ADsinA，解得sinA＝31010.答案：310106．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________．解析：因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝c22ab＝12×a2＋b22ab≥12.答案：127．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝5b3，c＝2a－b＝7b3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，又0Cπ，因此角C＝2π3.答案：2π38．(2019·苏州质量检测)已知△ABC中，角A、32B、C成等差数列，且△ABC的面积为1＋2，则AC边的长的最小值是________．解析：因为A、32B、C成等差数列，所以A＋C＝3B，又A＋B＋C＝π，所以B＝π4，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由S△ABC＝12acsinB＝1＋2得ac＝2(2＋2)，由余弦定理及a2＋c2≥2ac，得b2≥(2－2)ac，即b2≥(2－2)×2(2＋2)，所以b≥2，所以AC边的长的最小值为2.答案：29．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC＝________．解析：设BD＝1，则AB＝AD＝32，BC＝2.在△ABD中，解得sinA＝223，在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得sinC＝66.答案：6610．(2019·徐州质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bc.若a＝3，S为△ABC的面积，则S＋3cosBcosC的最大值为________．解析：由cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32⇒A＝5π6，又a＝3，故S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，因此S＋3cosBcosC＝3sinBsinC＋3cosBcosC＝3cos(B－C)，于是当B＝C时取得最大值3.答案：311．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA.(1)求角C的大小；(2)若c＝2，且△ABC的面积为3，求a＋b的值．解：(1)由题意得3a2c＝sinA，由正弦定理得3sinA2sinC＝sinA.又sinA≠0，所以sinC＝32，又0°C90°，所以C＝60°.(2)因为S△ABC＝12absin60°＝3，所以ab＝4.又c＝2，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos60°，即4＝a2＋b2－2ab·12，即4＝(a＋b)2－2ab－ab，所以(a＋b)2＝4＋3ab＝16，所以a＋b＝4.12．(2019·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosA＋bcosB＝ccosC.(1)证明：cosAcosB＝cosC；(2)若b2＋c2－a2＝23bc，求tanC的值．解：(1)证明：因为acosA＋bcosB＝ccosC，所以由正弦定理可知sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，即sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sin（A＋B）cosAcosB＝sinCcosC.因为在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，所以cosAcosB＝cosC.(2)因为b2＋c2－a2＝23bc，根据余弦定理可知cosA＝b2＋c2－a22bc＝13，因为A为三角形的内角，所以sinA＝223，tanA＝22.由cosAcosB＝cosC和A＋B＋C＝π得，cosAcosB＝cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB，所以2cosAcosB＝sinAsinB，所以tanAtanB＝2，由tanA＝22得，tanB＝22，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝522.1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________．解析：法一：因为cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝2013.从而b＝acosC＋ccosA＝2113.法二：如图，作BD⊥AC于点D，由cosC＝513，a＝BC＝1，知CD＝513，BD＝1213.又cosA＝45，所以tanA＝34，从而AD＝1613.故b＝AD＋DC＝2113.答案：21132．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝________.解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0Aπ，所以A＝π4.答案：π43．(2019·镇江质量检测)若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m，则m的取值范围是________．解析：不妨设ABC，因为钝角三角形三个内角的度数成等差数列，所以2B＝A＋C，从而3B＝180°，即B＝60°，所以A＋C＝120°，又A90°，所以0°C30°，所以A＝120°－C(C∈(0°，30°))，故m＝ac＝sinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32cosC＋12sinCsinC＝32tanC＋12，由于C∈(0°，30°)，所以tanC∈0，33，故m∈(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)4．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________．解析：因为sin∠BAM＝13，所以cos∠BAM＝223.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得BMsin∠BAM＝AMsinB，所以BMAM＝sin∠BAMsinB＝13sinB＝13cos∠BAC.在Rt△ACM中，有CMAM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以13cos∠BAC＝sin(∠BAC－∠BAM)．化简，得22sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.所以22tan∠BAC－1tan2∠BAC＋1＝1，解得tan∠BAC＝2.再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝63.答案：635．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，即3cosB＝sinB.因为0Bπ，所以sinB0，所以cosB0，所以tanB＝3，即B＝π3.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，因为a＋c＝1，cosB＝12，所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋c22＝14(a＋c)2＝14，所以b≥12.又a＋cb，所以b1，所以12≤b1.6．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m＝(cosA，cosB)，n＝(b＋2c，a)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝43，b＋c＝8，求AC边上的高h的值．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以(b＋2c)cosA＋acosB＝0，由正弦定理得cosAsinB＋2cosAsinC＋cosBsinA＝0，即sin(A＋B)＋2cosAsinC＝0，因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，所以sinC＋2cosAsinC＝0.又C∈(0，π)，所以sinC＞0，所以cosA＝－12.因为A∈(0，π)，所以A＝2π3.(2)由cosA＝－12＝b2＋c2－a22bc，b＋c＝8，a＝43，解得b＝c＝4.又S△ABC＝12bcsinA＝12h·AC，所以h＝23.